Macdonald-Polynome

Die Macdonald-Polynome sind in der Mathematik eine Familie von orthogonalen symmetrischen Polynomen in mehreren Variablen. Sie verallgemeinern eine große Familie von orthogonalen Polynomen wie die Schur-Funktionen, Hall-Littlewood-Polynome und die Askey-Wilson-Polynome.

Sie wurden 1988 von Ian Macdonald eingeführt.^[1]

Definition

Notation

• ${\displaystyle \Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{{\mathfrak {S}}_{n}}=\bigoplus \limits _{r\geq 0}\Lambda _{n}^{r}}$ bezeichnet den graduierten Subring der symmetrischen Polynome, wobei die Notation bedeutet, dass die symmetrische Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ operiert. ${\displaystyle \Lambda =\varprojlim _{n}\bigoplus \limits _{r\geq 0}\Lambda _{n}^{r}}$ bezeichnet den Limes.
• ${\displaystyle F:=\mathbb {Q} (q,t)}$ bezeichnet der Körper der rationalen Funktionen in ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle \Lambda _{F}:=\Lambda \otimes _{\mathbb {Z} }F}$ ist der graduierte Ring der symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten in ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle \Lambda _{n,F}:=\Lambda _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }F}$ ist der graduierte Ring der symmetrischen Polynome mit ${\displaystyle n}$ Unbestimmten und Koeffizienten in ${\displaystyle F}$.
• ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r},\dots )}$ ist eine Partition und ${\displaystyle l(\lambda )}$ die Anzahl der von Null verschiedenen Teile. Wenn ${\displaystyle \lambda }$ aus ${\displaystyle m_{1}}$ Teilen gleich ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ Teilen gleich ${\displaystyle 2}$ besteht, dann schreiben wir ${\displaystyle \lambda =(1^{m_{1}}2^{m_{2}},\dots )}$.
• ${\displaystyle \lambda \prec \mu }$ bezeichnet die Dominanz-Ordnung für zwei Partitionen, in Formeln:

${\displaystyle \lambda \prec \mu \quad :\!\iff \quad |\lambda |=|\mu |\;\land \;\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}\leq \mu _{1}+\dots +\mu _{n}}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$.

• ${\displaystyle m_{\lambda }}$ ist die monomiale symmetrische Funktion

${\displaystyle m_{\lambda }(x)=\sum \limits _{\alpha \sim \lambda }x^{\alpha }=\sum \limits _{\alpha \sim \lambda }x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

wobei ${\displaystyle \alpha \sim \lambda }$ bedeutet, dass ${\displaystyle \alpha }$ eine Permutation der Elemente von ${\displaystyle \lambda }$ ist. Die Menge ${\displaystyle \{m_{\lambda }\}}$ mit allen Partitionen ${\displaystyle \lambda }$ mit höchstens ${\displaystyle n}$ Teilen bildet eine lineare Basis für ${\displaystyle \Lambda _{n}}$.

Für allgemeine Wurzelsysteme

• ${\displaystyle R}$ bezeichnet ein reduziertes Wurzelsystem eines Vektorraumes ${\displaystyle V}$ mit Zerlegung ${\displaystyle R=R_{+}\cup (-R^{+})}$.
• ${\displaystyle P^{+}:=\{\lambda \in V|(\lambda ,\alpha ^{\vee })\in \mathbb {Z} _{+}\;\forall \alpha \in R^{+}\}}$ bezeichnet die Menge der dominanten Gewichte (${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ sind die Kowurzeln), d. h. die fundamentale Weyl-Kammer.

Einleitung

Macdonald-Polynome können auch ohne Lie-Theorie verstanden werden, deshalb steht die Information zu allgemeinen Wurzelsystemen in der Klammer.

Macdonald-Polynome

Sei ${\displaystyle \lambda }$ eine Partition (${\displaystyle \lambda \in P^{+}}$). Die Macdonald-Polynome ${\displaystyle P_{\lambda }:=P_{\lambda }(x;q,t)\in \Lambda _{F}}$ (mit Wurzelsystem vom Typ ${\displaystyle A}$) lassen sich als Eigenfunktionen eines Operators oder explizit über ein inneres Produkt definieren.

Definition über den Operator

Sei ${\displaystyle T_{q,x_{i}}}$ der Shiftoperator^[2]

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots ,x_{i-1},qx_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})}$,

dann sind die Macdonald-Polynome ${\displaystyle P_{\lambda }}$ die Eigenfunktionen des Operators ${\displaystyle D:\Lambda _{n,F}\to \Lambda _{n,F}}$

${\displaystyle D=\sum \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{i\neq j}{\frac {(tx_{i}-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}T_{q,x_{i}}}$

mit Eigenwerten ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}q^{\lambda _{i}}t^{n-i}.}$

Definition als explizite Polynome

Sei ${\displaystyle \lambda \in P_{+}}$ eine Partition, dann sind die dazugehörigen Macdonald-Polynome ${\displaystyle P_{\lambda }}$ die eindeutigen symmetrischen Funktionen, welche folgende zwei Bedingungen erfüllen^[3]

1. ${\displaystyle P_{\lambda }=m_{\lambda }+\sum \limits _{\mu \prec \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu },\quad {\text{mit }}\;u_{\lambda \mu }\in F}$.
2. ${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\mu }\rangle _{(q,t)}=0,\qquad {\text{falls }}\;\mu \neq \lambda }$

wobei das Skalarprodukt wie folgt definiert ist

${\displaystyle \langle p_{\lambda },p_{\mu }\rangle _{(q,t)}=\delta _{\lambda \mu }z_{\lambda }(q,t)=\delta _{\lambda \mu }\left(\prod \limits _{i\geq 1}i^{m_{i}}(m_{i}!)\right)\prod \limits _{i=1}^{l(\lambda )}{\frac {1-q^{\lambda _{i}}}{1-t^{\lambda _{i}}}}}$

wobei ${\displaystyle z_{\lambda }(q,t)}$ das ${\displaystyle q,t}$ des Hall-Skalarproduktes bezeichnet

${\displaystyle z_{\lambda }(q,t)=z_{\lambda }\prod \limits _{i=1}^{l(\lambda )}{\frac {1-q^{\lambda _{i}}}{1-t^{\lambda _{i}}}}}$

mit ${\displaystyle z_{\lambda }=\prod \limits _{i\geq 1}i^{m_{i}}(m_{i}!)}$ für ${\displaystyle \lambda =1^{m_{1}}2^{m_{2}}\cdots }$.

Eigenschaften

Dualität

Definiere ${\displaystyle Q_{\lambda }={\tfrac {P_{\lambda }}{\langle P_{\lambda },P_{\mu }\rangle }}}$ und den Automorphismus ${\displaystyle \omega _{q,t}:\Lambda _{F}\to \Lambda _{F}}$

${\displaystyle \omega _{q,t}(p_{r})=(-1)^{r-1}{\tfrac {1-q^{r}}{1-t^{r}}}p_{r}}$,

sei ${\displaystyle \lambda }$ eine Partition und ${\displaystyle \lambda '}$ die konjugierte Partition (d. h. im Young-Tableau werden Zeilen mit Spalten vertauscht), dann gilt^[4]

${\displaystyle \omega _{q,t}P_{\lambda }(q,t)=Q_{\lambda '}(t,q)}$

oder äquivalent

${\displaystyle \omega _{q,t}Q_{\lambda }(q,t)=P_{\lambda '}(t,q).}$

Beispiele

• ${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,q)}$ sind die Schur-Funktionen.
• ${\displaystyle P_{\lambda }(x;0,t)}$ sind die Hall-Littlewood-Polynome.
• ${\displaystyle \lim \limits _{t\to 1}P_{\lambda }(x;t^{\alpha },t)}$ sind die Jack-Symmetrischen-Funktionen.
• ${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,1)=m_{\lambda }}$ (monomial-symmetrischen Funktionen).
• ${\displaystyle P_{\lambda }(x;1,t)=e_{\lambda }}$ (elementar-symmetrischen Funktionen).

Literatur

• I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org). 
• I. G. Macdonald: Symmetric functions and Hall polynomials. Hrsg.: Oxford University Press. 2. Auflage. New York, ISBN 978-0-19-873912-8. 

Einzelnachweise

1. ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org). 
2. ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 143–145 (englisch, eudml.org). 
3. ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 140 (englisch, eudml.org). 
4. ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 148 (englisch, eudml.org).