Maaßsche Wellenform

Maaßsche Formen oder auch Maaßsche Wellenformen werden in der Theorie der automorphen Formen, einem Teilgebiet der Mathematik untersucht. Im klassischen Sinne sind Maaßsche Formen komplexwertige, glatte Funktionen der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$, die ein ähnliches Transformationsverhalten unter der Operation einer diskreten Untergruppe ${\displaystyle \Gamma }$ von ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ auf der oberen Halbebene aufweisen, wie das der Modulformen. Sie sind Eigenformen des hyperbolischen Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta }$ auf ${\displaystyle \mathbb {H} }$ und erfüllen gewisse Wachstumsbedingungen in den Spitzen eines Fundamentalbereichs von ${\displaystyle \Gamma }$. Im Gegensatz zu den Modulformen müssen Maaßsche Formen nicht holomorph sein. Sie wurden als erstes von Hans Maaß im Jahre 1949 untersucht.

Allgemeines

Die spezielle lineare Gruppe

${\displaystyle G:=SL_{2}(\mathbb {R} )={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} )\,\mid \,ad\,-\,bc=1{\Bigg \}}}$

operiert auf der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$ durch die Möbius-Transformationen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}.z:={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Diese Operation kann zu einer Operation auf ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}\cup \mathbb {\mathbb {R} } }$ erweitert werden, indem man definiert:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}.z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&,{\text{ falls }}cz+d\neq 0\\\infty &,{\text{ falls }}cz+d=0\end{cases}}}$,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}.\infty :=\lim \limits _{\operatorname {Im} (z)\rightarrow \infty }{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}.z}={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&,{\text{ falls }}c\neq 0\\\infty &,{\text{ falls }}c=0\end{cases}}}$

Auf der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ist durch

${\displaystyle \mathrm {d} \mu :={\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{y^{2}}}}$

ein unter der Operation von ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ invariantes Radon-Maß gegeben.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine diskrete Untergruppe von ${\displaystyle G}$. Ein Fundamentalbereich zu ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine offene Teilmenge ${\displaystyle F\subset \mathbb {H} }$, sodass ein Vertretersystem ${\displaystyle R}$ von ${\displaystyle \Gamma \setminus \mathbb {H} }$ existiert mit

${\displaystyle F\subset R\subset {\overline {F}}}$ und ${\displaystyle \mu ({\overline {F}}\setminus F)=0}$.

Ein Fundamentalbereich für die Modulgruppe ${\displaystyle \Gamma (1):=SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ist gegeben durch

${\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {H} \,\mid \,|Re(z)|<{\frac {1}{2}}\,,\,|z|<1\}}$

(siehe Modulform). Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ heißt ${\displaystyle \Gamma }$-invariant, falls ${\displaystyle f(\gamma .z)=f(z)}$ für jedes ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ und jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ gilt. Für jede messbare ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ gilt dann

${\displaystyle \int _{F}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\Gamma \setminus \mathbb {H} }f\,\mathrm {d} \mu }$,

wobei das ${\displaystyle \mathrm {d} \mu }$ auf der rechten Seite der Gleichung das auf dem Quotienten induzierte Maß darstellt.

Klassische Maaßsche Wellenformen

Definition des hyperbolischen Laplace-Operators

Der hyperbolische Laplace-Operator auf der Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ist definiert durch

${\displaystyle \Delta \colon C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} )}$,

mit

${\displaystyle \Delta (f):=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)\,.}$

Dies entspricht gerade dem (verallgemeinerten) Laplace-Operator beziehungsweise Laplace-Beltrami-Operator bezüglich der hyperbolischen Metrik auf der hyperbolischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Definition einer Maaßschen Wellenform

Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe ${\displaystyle \Gamma (1):=SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ist eine glatte Funktion ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \mathbb {H} }$, sodass

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z)\,\,\,}$ für alle ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$,
2. ${\displaystyle \Delta (f)=\lambda f}$ für ein ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$.
3. Es existiert ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N})}$ für ${\displaystyle y\geq 1.}$

Gilt außerdem

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0\,\,\,}$ für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,}$

dann nennt man ${\displaystyle f}$ eine Maaßsche Spitzenform.

Zusammenhang von Maaßschen Wellenformen und Dirichletreihen

Sei nun ${\displaystyle f}$ eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen ${\displaystyle \gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}$

${\displaystyle \forall \,z\in \mathbb {H} :\,f(z)=f(\gamma .z)=f(z+1)}$.

Damit hat ${\displaystyle f}$ eine Fourier-Entwicklung der Gestalt

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx}}$,

mit Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{n}\,,n\in \mathbb {N} .}$ Man kann nachrechnen, dass ${\displaystyle f}$ genau dann eine Maaßsche Spitzenform ist, wenn ${\displaystyle \forall y>0:\ a_{0}(y)=0}$ gilt. Diese Koeffizientenfunktionen können genau angegeben werden, dafür benötigt man die K-Besselfunktion.

Definition: Die K-Besselfunktion ist für ${\displaystyle y>0}$ definiert durch

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-y(t+t^{-1})/2}t^{s}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\,\,,s\in \mathbb {C} }$.

Das Integral konvergiert für ${\displaystyle y>0}$ lokal gleichmäßig in ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ und es gilt die Abschätzung

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-y/2}K_{\operatorname {Re} (s)}(2),}$ falls ${\displaystyle y>4}$.

Damit fällt ${\displaystyle K_{s}}$ betragsmäßig exponentiell für ${\displaystyle y\to \infty }$. Außerdem gilt ${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$ für alle ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle y>0}$.

Satz: Fourierkoeffizienten einer Maaßschen Wellenform

Sei ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ der Eigenwert der Maaßschen Wellenform ${\displaystyle f}$ bezüglich ${\displaystyle \Delta }$. Sei ${\displaystyle \nu \in \mathbb {C} }$ die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{4}}-\nu ^{2}}$. Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von ${\displaystyle f}$

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)\,\,\,,\,\,\,c_{n}\in \mathbb {C} ,}$

falls ${\displaystyle n\neq 0}$. Ist ${\displaystyle n=0}$, so gilt

${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }}$ mit ${\displaystyle c_{0},\,d_{0}\in \mathbb {C} }$.

Beweis: Es gilt ${\displaystyle \Delta (f)=({\tfrac {1}{4}}-\nu ^{2})f}$. Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x.}$

Zusammen folgt für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\\&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\right)\\&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}\mathrm {d} x\\&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der ${\displaystyle n}$-te Fourierkoeffizient von ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ genau ${\displaystyle (2\pi in)^{2}a_{n}(y)}$ ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da ${\displaystyle f}$ beliebig oft stetig differenzierbar in y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}$

Für ${\displaystyle n=0}$ kann man zeigen, dass für jede Lösung ${\displaystyle f}$ dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten ${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$ existieren, sodass gilt ${\displaystyle f(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{4}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{4}}+\nu }}$.

Für ${\displaystyle n\neq 0}$ ist jede Lösung ${\displaystyle f}$ der obigen Differentialgleichung von der Form

${\displaystyle f(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}\left(2\pi |n|y\right)}$

für eindeutige ${\displaystyle c_{n},d_{n}\in \mathbb {C} }$, wobei ${\displaystyle K_{v}(s)}$ die K-Besselfunktion und ${\displaystyle I_{v}(s)}$ die I-Besselfunktionen ist (Siehe O. Forster).

Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von ${\displaystyle f:}$

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}$

(also ${\displaystyle d_{n}=0}$) für ein eindeutiges ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} .\,\,\,\square }$

Gerade und ungerade Maaßsche Wellenformen: Sei ${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$. Dann operiert ${\displaystyle i}$ auf allen Funktionen ${\displaystyle f}$ der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ via ${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$. Man rechnet leicht nach, dass ${\displaystyle \Delta }$ mit ${\displaystyle i}$ vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform ${\displaystyle f}$ gerade, wenn ${\displaystyle i(f)=f}$ und ungerade wenn ${\displaystyle i(f)=-f}$. Ist ${\displaystyle f}$ eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$ eine gerade Maaßsche Wellenform und ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$ eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt ${\displaystyle f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$.

Satz: L-Funktion einer Maaßschen Wellenform

Sei ${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}}$ eine Maaßsche Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von ${\displaystyle f}$ als

${\displaystyle L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}}$.

Dann konvergiert die Reihe ${\displaystyle L(s,f)}$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>{\tfrac {3}{2}}}$ und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ fortsetzen.

Ist ${\displaystyle f}$ gerade oder ungerade, so definiert man

${\displaystyle \Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\epsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\epsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f),}$

wobei ${\displaystyle \epsilon =0}$, falls ${\displaystyle f}$ gerade und ${\displaystyle \epsilon =-1}$, falls ${\displaystyle f}$ ungerade ist. Dann erfüllt ${\displaystyle \Lambda }$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle \Lambda (s,f)=(-1)^{\epsilon }\Lambda (1-s,f)}$.

Beweis:

Sei ${\displaystyle f}$ eine Maaßsche Spitzenform. Zuerst machen wir uns klar, wie schnell die Fourierkoeffizienten von ${\displaystyle f}$ wachsen.

Behauptung: Es gilt ${\displaystyle c_{n}={\mathcal {O}}(n^{\frac {1}{2}})}$

Beweis: Da ${\displaystyle f}$ eine Maaßsche Spitzenform ist, existieren ${\displaystyle C,N>0}$, sodass für ${\displaystyle y>1}$ die Ungleichung ${\displaystyle |f(x+iy)|\leq Cy^{N}}$ gilt. Ist ${\displaystyle y<{\tfrac {1}{2}}}$ und ist ${\displaystyle \omega \in D}$ konjugiert zu ${\displaystyle z=x+iy}$ modulo ${\displaystyle \Gamma (1)}$, so rechnet man leicht nach, dass ${\displaystyle \operatorname {Im} (\omega )\leq {\tfrac {1}{y}}}$ gilt. Da ${\displaystyle f}$ invariant unter ${\displaystyle \Gamma (1)}$ ist, gilt für ${\displaystyle y<{\tfrac {1}{2}}}$:

${\displaystyle |f(x+iy)|\leq Cy^{-N}}$.

Also gilt für ${\displaystyle y<{\frac {1}{2}}}$ die Abschätzung

${\displaystyle |c_{n}|{\sqrt {y}}|K_{\nu }(2\pi |n|y)\leq \int _{0}^{1}|f(x+iy)|\mathrm {d} x\leq Cy^{-N}}$.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \,,|n|>2}$ und ${\displaystyle y={\tfrac {1}{|n|}}}$ gilt damit

${\displaystyle |c_{n}|\leq Cr^{N+{\frac {1}{2}}}|K_{\nu }(2\pi )|^{-1}}$.

Damit finden wir eine Konstante ${\displaystyle D\geq C}$, sodass für jedes ${\displaystyle n\neq 0}$ gilt:

${\displaystyle |c_{n}|\leq Dr^{N+{\frac {1}{2}}}|K_{\nu }(2\pi )|^{-1}}$

Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und ${\displaystyle f}$ ist eine Maaßsche Spitzenform. Zusammen folgt, dass ${\displaystyle f}$ auf dem Fundamentalbereich von ${\displaystyle \Gamma (1)}$ beschränkt ist und damit auf ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Damit können wir den obigen Beweis mit ${\displaystyle N=0}$ wiederholen und erhalten ${\displaystyle |c_{n}|\leq Kn^{\frac {1}{2}}}$ für ein ${\displaystyle K<\infty }$, also ${\displaystyle c_{n}={\mathcal {O}}(n^{\frac {1}{2}})\,.\,\,\square }$.

Damit konvergiert die Reihe ${\displaystyle L(s,f)}$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>{\tfrac {3}{2}}}$.

Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von ${\displaystyle K_{\nu }}$.

Für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>|\operatorname {Re} (\nu )|}$ konvergiert das Integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K_{\nu }(y)y^{s}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}}$

absolut und es gilt

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K_{\nu }(y)y^{s}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}=2^{s-2}\Gamma ({\frac {s+\nu }{2}})\Gamma ({\frac {s-\nu }{2}})}$.

Ist ${\displaystyle f}$ nun gerade oder ungerade, folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{\epsilon }}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Sei ${\displaystyle f}$ gerade. Der Fall ${\displaystyle f}$ ungerade funktioniert ähnlich und wird deswegen hier nicht gezeigt. Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}&=2\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}y^{s-1}K_{\nu }(2\pi ny)\,\mathrm {d} y\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}K_{\nu }(2\pi ny)\mathrm {d} y\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(2\pi n)^{-s}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}K_{\nu }(y)\mathrm {d} y\\&=2(2\pi )^{-s}\left(\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}\right)2^{s-2}\Gamma \left({\frac {s+\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s-\nu }{2}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\pi ^{s}\Gamma \left({\frac {s+\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s-\nu }{2}}\right)L(s,f)\\&={\frac {1}{2}}\Lambda (s,f)\end{aligned}}}$

Das Vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für ${\displaystyle y>4}$ gilt:

${\displaystyle |K_{s}|\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}$

Ebenso zeigt man, dass ${\displaystyle f(iy)}$ für ${\displaystyle y\to \infty }$ exponentiell fällt.

Wir definieren nun

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}(s,f)&:=\int _{1}^{\infty }f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\\Lambda _{2}(s,f)&:=\int _{0}^{1}f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\end{aligned}}}$

Damit gilt ${\displaystyle \Lambda =2(\Lambda _{1}+\Lambda _{2})}$. Da ${\displaystyle f(iy)}$ exponentiell fällt für ${\displaystyle y\to \infty }$, konvergiert ${\displaystyle \Lambda _{1}(s,f)}$ für jedes ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ und damit ist ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ eine ganze Funktion (komplexe Analysis). Nun ist ${\displaystyle f}$ aber invariant unter ${\displaystyle \Gamma (1)}$, womit insbesondere ${\displaystyle f(iy)=f\left({\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}.iy\right)=f\left({\frac {1}{-iy}}\right)=f\left(i{\frac {1}{y}}\right)}$ folgt.

Wir erhalten nun:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{2}(s,f)&:=\int _{0}^{1}f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\&=\int _{1}^{\infty }f(i{\frac {1}{y}})y^{-s+{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\&=\int _{1}^{\infty }f(iy)y^{(1-s)-{\frac {1}{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\\&=\Lambda _{1}(1-s,f)\end{aligned}}}$

Damit ist auch ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ eine ganze Funktion und damit ist ${\displaystyle \Lambda }$ ganz. Insbesondere kann man damit ${\displaystyle L\left(s,f\right)}$ zu einer ganzen Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ fortsetzen. Weiterhin gilt für ${\displaystyle \Lambda }$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle \Lambda (s,f)=2(\Lambda _{1}(s,f)+\Lambda _{2}(s,f)=2(\Lambda _{1}(s,f)+\Lambda _{1}(1-s,f))=\Lambda (1-s,f)}$.

Damit ist ${\displaystyle L}$ insbesondere auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorph fortsetzbar und der Satz ist bewiesen. ${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\square }$

Beispiel: Die nichtholomorphe Eisensteinreihe E

Die nichtholomorphe Eisensteinreihe wird für ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ und ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ definiert durch

${\displaystyle E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma (s)}$ die Gammafunktion ist.

Die obige Reihe konvergiert absolut in ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ und lokal gleichmäßig in ${\displaystyle \mathbb {H} \times \{s\mid \operatorname {Re} (s)>1\}}$, denn man kann zeigen, dass die Reihe ${\displaystyle S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}}$ absolut in ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ konvergiert, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>2}$. Genauer konvergiert die Summe sogar gleichmäßig auf jeder Menge ${\displaystyle K\times \{s\mid \operatorname {Re} (s)\geq \alpha \}}$, für jedes Kompaktum ${\displaystyle K\subset \mathbb {H} }$ und jedes ${\displaystyle \alpha >2}$.

Insbesondere ist ${\displaystyle E}$ als Limes stetiger Funktionen stetig in ${\displaystyle \mathbb {H} \times \{s\mid \operatorname {Re} (s)>1\}}$. Für festes ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ist ${\displaystyle E}$ sogar holomorph in ${\displaystyle \{s\mid \operatorname {Re} (s)>1\}}$, da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.

Satz: E ist eine Maaßsche Wellenform

Wir zeigen hier nur die ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$-Invarianz und die Eigengleichung. Einen Beweis der Glattheit findet man bei Deitmar oder Bump. Die Wachstumsbedingung folgt aus dem Satz der Fourier-Entwicklung von E.

Zuerst zur ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$-Invarianz. Sei

${\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}$

die Stabilisatorgruppe von ${\displaystyle \infty }$ bezüglich der Operation von ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ auf ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}}$. Dann gilt Folgendes.

Lemma: Die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\infty }\backslash \Gamma &\to \{\pm (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}/\{\pm 1\}\mid \operatorname {ggT} (x,y)=1\}\\\Gamma _{\infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}&\mapsto \pm (c,d)\end{aligned}}}$

ist eine Bijektion.

Proposition: E ist Γ(1)-invariant

(a) Sei ${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}}$. Dann konvergiert ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ absolut in ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ und es gilt:

${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$

(b) Es gilt ${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$ für jedes ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$.

Beweis:

Zu (a): Für ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}$ gilt ${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma z)={\frac {\operatorname {Im} (z)}{|cz+d|^{2}}}}$. Damit folgt mit obigem Lemma

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

Damit folgt die absolute Konvergenz in ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

Des Weiteren folgt

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$,

denn die Abbildung ${\displaystyle \mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\mid \operatorname {ggT} (x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\},(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)}$ ist eine Bijektion.

Damit folgt (a).

Zu (b): Für ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)}$ gilt

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(\gamma z,s)}$.

Nach (a) ist damit auch ${\displaystyle E}$ invariant unter ${\displaystyle \Gamma (1)}$. ${\displaystyle \,\,\,\,\square }$

Proposition: E ist eine Eigenform des hyperbolischen Laplace-Operators

Wir benötigen Folgendes.

Lemma: ${\displaystyle \Delta }$ vertauscht mit der Operation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$. Genauer gilt für jedes ${\displaystyle g\in G}$:

${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}}$

Beweis: Die Gruppe ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ wird erzeugt von den Elementen der Form ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{\times }}$, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}}$. Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes ${\displaystyle g\in SL_{2}(\mathbb {R} )}$. ${\displaystyle \,\,\,\square }$

Wegen ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$ (vergleiche oben) reicht es, die Eigengleichung für ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ zu zeigen. Es gilt:

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \operatorname {Im} (\gamma z)^{s}}$

Außerdem gilt

${\displaystyle \Delta \left(\operatorname {Im} (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}}$.

Da der Laplace-Operator mit der Operation von ${\displaystyle \Gamma (1)}$ vertauscht, folgt für jedes ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$

${\displaystyle \Delta (\operatorname {Im} (\gamma z)^{s})=s(1-s)\operatorname {Im} (\gamma z)^{s}}$ und damit ${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s)}$.

Damit folgt für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>3}$ die Eigengleichung auch für ${\displaystyle E}$. Um die Behauptung für jedes ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ zu erhalten, betrachte die Funktion ${\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}$. Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von ${\displaystyle E}$ explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>3}$, damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$.${\displaystyle \,\,\,\,\square }$

Satz zur Fourier-Entwicklung von E

Die nichtholomorphe Eisensteinreihe besitzt eine Fourier-Entwicklung

${\displaystyle E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx},}$

wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{2-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)\,,\,n\neq 0\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ hat ${\displaystyle E(z,s)}$ eine meromorphe Fortsetzung in ${\displaystyle s}$ auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in ${\displaystyle s=0,1}$.

Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}$

und es gilt lokal gleichmäßig in ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ die Wachstumsbedingung

${\displaystyle E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma }),}$

wobei ${\displaystyle \sigma =\max(\operatorname {Re} (s),1-\operatorname {Re} (s))}$.

Die meromorphe Fortsetzung von E ist von großer Bedeutung in der Spektraltheorie des hyperbolischen Laplace-Operators.

Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

Kongruenzuntergruppen

Für ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle \Gamma (N)}$ der Kern der kanonischen Projektion

${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )\to SL_{2}(\mathbb {Z} \,/\,N\mathbb {Z} )}$.

Man nennt ${\displaystyle \Gamma (N)}$ Hauptkongruenzgruppe der Stufe ${\displaystyle N}$. Eine Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subseteq Sl_{2}(\mathbb {Z} )}$ heißt Kongruenzuntergruppe, falls ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ existiert, sodass ${\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma }$. Alle Kongruenzuntergruppen sind diskret.

Es sei ${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)\,/\,\pm \,1}$. Für eine Kongruenzuntergruppe ${\displaystyle \Gamma }$ sei ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ das Bild von ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$. Es sei S ein Vertretersystem von ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\setminus {\overline {\Gamma (1)}}}$, dann ist

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}$

ein Fundamentalbereich für ${\displaystyle \Gamma }$. Die Menge ${\displaystyle S}$ ist durch den Fundamentalbereich ${\displaystyle SD}$ eindeutig festgelegt. Zudem ist ${\displaystyle S}$ endlich.

Man nennt die Punkte ${\displaystyle \gamma \infty }$ für ${\displaystyle \gamma \in S}$ Spitzen des Fundamentalbereichs ${\displaystyle SD}$. Sie liegen komplett in ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$.

Für jede Spitze ${\displaystyle c}$ existiert ein ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (1)}$ mit ${\displaystyle \sigma \infty =c}$.

Definition Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine Kongruenzuntergruppe von ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Wir verallgemeinern den hyperbolischen Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta }$ zum hyperbolischen Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta _{k}}$ vom Gewicht ${\displaystyle k}$, wobei:

${\displaystyle \Delta _{k}\colon C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} )}$

${\displaystyle \Delta _{k}(f)=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Für ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ definieren wir eine Rechtsoperation von ${\displaystyle Sl_{2}(\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$ durch

${\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(g.z),}$

wobei ${\displaystyle z\in \mathbb {H} \,\,,\,\,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in Sl_{2}(\mathbb {R} )\,\,,\,\,f\in C^{\infty }(\mathbb {H} )}$.

Man kann zeigen, dass für jedes ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {H} )}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ und jedes ${\displaystyle g\in Sl_{2}(\mathbb {R} )}$ gilt:

${\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}$

Damit operiert ${\displaystyle \Delta _{k}}$ auf dem Vektorraum

${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \setminus \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} )\mid \forall \gamma \in \Gamma :f_{||k}\gamma =f\}}$.

Definition: Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ zur Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine Funktion ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \setminus \mathbb {H} ,k)}$, die eine Eigenform von ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ist und von moderatem Wachstum an den Spitzen ist.

Zum Begriff des moderaten Wachstums an den Spitzen:

Ist ${\displaystyle \Gamma }$ eine Kongruenzuntergruppe, dann ist ${\displaystyle \infty }$ eine Spitze und man nennt eine Funktion ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \setminus \mathbb {H} ,k)}$ von moderatem Wachstum bei ${\displaystyle \infty }$, falls ${\displaystyle f(x+iy)}$ durch ein Polynom beschränkt werden kann, wenn ${\displaystyle y\to \infty }$. Sei ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$ nun eine andere Spitze. Dann existiert ein ${\displaystyle \theta \in Sl_{2}(\mathbb {Z} )}$ mit ${\displaystyle \theta (\infty )=c}$. Sei dann ${\displaystyle f':=f_{||k}\theta }$. Man rechnet nach, dass dann ${\displaystyle f'}$ in ${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma '\setminus \mathbb {H} ,k)}$ liegt, wobei ${\displaystyle \Gamma '}$ die Kongruenzuntergruppe ${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$ ist. Man sagt nun ${\displaystyle f}$ ist von moderatem Wachstum an der Spitze ${\displaystyle c}$, falls ${\displaystyle f'}$ von moderatem Wachstum an der Spitze ${\displaystyle \infty }$ ist.

Enthält ${\displaystyle \Gamma }$ die Hauptkongruenzgruppe der Stufe ${\displaystyle N}$, so nennt man ${\displaystyle f}$ kuspidal bei unendlich, falls

${\displaystyle \int _{0}^{N}\,f(z+u)\,du=0}$ für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$