Maßraum

Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition

Das Tripel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ heißt Maßraum, wenn

• ${\displaystyle \Omega }$ eine beliebige, nichtleere Menge ist. ${\displaystyle \Omega }$ wird dann auch Grundmenge genannt.
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra über der Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ ist.
• ${\displaystyle \mu }$ ein Maß ist, das auf ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ versehen mit einem Maß ${\displaystyle \mu }$ definieren.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge ${\displaystyle \Omega =\mathbb {N} }$, als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ und als Maß das Diracmaß auf der 1: ${\displaystyle \mu =\delta _{1}}$.

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge ${\displaystyle \mathbb {R} }$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$, der Ereignisalgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und dem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$.

Klassen von Maßräumen

Endliche Maßräume

Ein Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also ${\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }$ ist.

σ-endliche Maßräume

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$) ist.

Vollständige Maßräume

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume

Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra über der Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle \nu }$ ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\nu )}$ einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume

Ein Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {A}}}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und beliebige ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle S\in S}$ existiert, so dass ${\displaystyle \mu (A\triangle S)<\varepsilon }$ ist.

Zerlegbare Maßräume

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume

Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.