Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz

In der Mathematik, genauer in der Gruppenkohomologie, in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie, ist die Lyndon-Spektralsequenz oder Hochschild-Serre-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehörigen Quotientengruppe. Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz und wurde benannt nach Roger Lyndon, Gerhard Hochschild und Jean-Pierre Serre.

Aussage

Es sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle N}$ eine normale Untergruppe, und es sei A ein ${\displaystyle G}$-Modul. Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz

${\displaystyle E_{2}=H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\Longrightarrow H^{p+q}(G,A)}$

und eine homologische Spektralsequenz

${\displaystyle E^{2}=H_{p}(G/N,H_{q}(N,A))\Longrightarrow H_{p+q}(G,A)}$,

wobei die Pfeile "${\displaystyle \Longrightarrow }$" Konvergenz von Spektralsequenzen meinen.

Fünfterm exakte Sequenz

Die zugehörige Fünfterm exakte Sequenz lautet

${\displaystyle 0\to H^{1}(G/N,A^{N})\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(N,A)^{G/N}\to H^{2}(G/N,A^{N})\to H^{2}(G,A).}$

Beispiel

Sei ${\displaystyle G}$ die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ganzen Zahlen, d. h.

${\displaystyle G=\left\{\left({\begin{array}{ccc}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{array}}\right):\ a,b,c\in \mathbb {Z} \right\}}$.

Dann ist ${\displaystyle G}$ eine zentrale Erweiterung ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to G\to \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to 0}$ der Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$, mit Zentrum ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ zugehörig zur Untergruppe mit a=c=0. Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden^[1]:

${\displaystyle H_{i}(G,\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cc}\mathbb {Z} &i=0,3\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &i=1,2\\0&i>3.\end{array}}\right.}$

Literatur

• Roger Lyndon: The cohomology theory of group extensions. Hrsg.: Duke Mathematical Journal. 15. Auflage. 1948, ISSN 0012-7094, doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2. 
• Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of group extensions. Hrsg.: Transactions of the American Mathematical Society. 74. Auflage. 1953, ISSN 0002-9947, doi:10.2307/1990851, JSTOR:1990851. 
• Kevin P. Knudson: Homology of Linear Groups. Hrsg.: Birkhäuser Verlag (= Progress in Mathematics). 193. Auflage. Basel 2001, ISBN 3-7643-6415-7, doi:10.1007/978-3-0348-8338-2. 
• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Hrsg.: Springerverlag. 2000, ISBN 978-3-540-66671-4. 

Einzelnachweise

1. ↑ Kevin P. Knudson: Homology of Linear Groups. Hrsg.: Birkhäuser Verlag (= Progress in Mathematics). 193. Auflage. Basel 2001, ISBN 3-7643-6415-7, doi:10.1007/978-3-0348-8338-2.