Loxodrome

Die Loxodrome von A nach B schneidet alle Meridiane im konstanten Winkel ${\displaystyle \eta }$

Eine Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche – z. B. der Erdoberfläche –, die die Meridiane im geographischen Koordinatensystem immer unter dem gleichen Winkel schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird.

Allgemeiner gibt es zu jedem Rotationskörper Loxodromen als Kurven konstanten Kurses. Die Loxodromen der Kugel heißen speziell Kugelloxodromen, Loxodromen eines Zylinders sind Schraubenlinien, die des Kegels sind konische Spiralen (konische Helizes).

Loxodromen wurden um 1550 von Pedro Nunes entdeckt, der Name stammt von Willebrord Snell (1624).

Eigenschaften

Außer in Spezialfällen, Schnittwinkel 0° und 90° mit den Meridianen, sind Loxodromen nicht geschlossen. Sie winden sich spiralförmig um die Erde herum und nähern sich dabei den Polen an. Im strengen Sinn erreicht eine Loxodrome zwar nach einer endlichen Strecke nie den Pol, nähert sich ihm jedoch asymptotisch an, indem sie sich unendlich oft um ihn windet. In Polnähe hat eine Loxodrome also lokal die Eigenschaften einer (ebenen) Spirale, in Äquatornähe dagegen Eigenschaften einer Helix (räumliche Wendel).

Beim Spezialfall eines Schnittwinkels mit einem Meridian von 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian und somit ein Großkreis, der durch die Pole geht. Das ist der einzige Fall einer Loxodrome, die den Pol erreicht. Daraus ergibt sich im Umkehrschluss: Da einzig und allein die Loxodromen mit 0° den Nordpol erreichen, starten umgekehrt vom Nordpol auch nur Loxodromen mit 180°. Vom geographischen Nordpol aus kommt man also nur in Richtung 180° weg – allerdings ist die Kursangabe 180° am Nordpol nicht definiert: Man könnte sich mit diesem Kurs vom Nordpol aus auf jedem Meridian bewegen. Lediglich die Ankunft am Südpol wird damit garantiert. In der praktischen Navigation wird dieses Problem umgangen, indem in hohen Breitengraden nach der Gitternavigation (engl. grid navigation) mit polarstereographischen Karten gearbeitet wird.

Beim zweiten Spezialfall – Schnittwinkel 90° – ist die Loxodrome ebenfalls geschlossen, sie bildet einen Breitenkreis (Breitenparallel), ist also im Allgemeinen kein Großkreis. Der einzige Breitenkreis, der ein Großkreis ist, ist der Äquator, also diejenige Loxodrome, auf der die geographische Breite konstant 0° beträgt.

Projektionen:

• In der Kartografie werden auf Karten in der Mercator-Projektion die Loxodromen als gerade Linien abgebildet. Darauf beruht der Nutzen der Mercatorkarte für die praktische Navigation.
• In einer stereografischen Projektion wird die Kurve zu einer logarithmischen Spirale
• In einer orthografischen Azimutalprojektion (Parallelriss entlang der Erdachse) entsteht eine Poinsotsche Spirale

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  Animation einer Loxodrome

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  Loxodrome am Pol

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  Loxodrome am Äquator

Berechnung

Die Formel der Loxodrome (der Steigungswinkel in der Projektion) leitet sich aus der erwähnten Eigenschaft der Mercatorprojektion her, Loxodromen als Geraden abzubilden.

• die Länge wird mit ${\displaystyle \lambda }$
• die Breite mit ${\displaystyle \phi }$ bezeichnet

In Richtung Westen ist ${\displaystyle \lambda }$ negativ, Richtung Osten positiv; ${\displaystyle \phi }$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel. Beide Winkel werden hier mathematisch im Bogenmaß verwendet, nicht in Grad

• der Richtungswinkel ${\displaystyle \eta }$ ist eine konstante Peilung in Richtung wahrer Norden, der Steigungswinkel in der Mercatorprojektion, mit der Steigung ${\displaystyle k=\cot(\eta )}$

In Raumkoordinaten

Sei ${\displaystyle \lambda }$ die Längenkoordinate eines beliebigen Punktes der Loxodrome (wobei ${\displaystyle \lambda }$ nicht auf ${\displaystyle \lbrack 0,\,2\pi \lbrack }$ beschränkt ist).

In der Mercatorprojektion ist die Kurve eine Gerade:

${\displaystyle x=\lambda ,y=k\lambda }$

Für einen Punkt der Breite ${\displaystyle \phi }$ und Länge ${\displaystyle \lambda }$ gilt aufgrund der Abbildungvorschrift der Mercatorprojektion

${\displaystyle x=\lambda ,\ y=\operatorname {artanh} (\sin \phi )}$

Für die Breite des Punkts ergibt sich also ${\displaystyle \phi =\arcsin(\tanh(k\lambda ))}$ oder, als Gudermannfunktion gd ausgedrückt, ${\displaystyle \phi =\operatorname {gd} (k\lambda )}$
In kartesischen Koordinaten, mit ${\displaystyle r}$ als Radius einer Kugel:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {r\cos \lambda }{\cosh(k\lambda )}}&&=r\cos \lambda \cos \left({\frac {1}{\tan(k\lambda )}}\right)\\y&={\frac {r\sin \lambda }{\cosh(k\lambda )}}&&=r\sin \lambda \cos \left({\frac {1}{\tan(k\lambda )}}\right)\\z&=r\tanh(k\lambda )&&=-r\sin \left({\frac {1}{\tan(k\lambda )}}\right)\end{aligned}}}$

Diese Kurve geht bei geographischer Länge ${\displaystyle 0}$ durch den Äquator, für beliebige Lagen ${\displaystyle \lambda _{0}}$ des Äquatordurchgangs ist ${\displaystyle y=k(\lambda -\lambda _{0})}$, und in den obigen Formeln ist der Ausdruck ${\displaystyle (k\lambda )}$ entsprechend zu ersetzen.

In der Mercatorprojektion

Loxodrome (rot) und Orthodrome (blau) in Mercatorkarte, mit Weglängen in Kilometern.

Weg	Lox.	Orth.	Diff.
NY-MO	8359 km	7511 km	10,1 %
NY-DA	6207 km	6150 km	00,9 %
DA-MO	6596 km	6509 km	01,3 %

In der Luft- und insbesondere der Seefahrt kann es günstig sein, entlang einer Loxodrome zu reisen, da man dann immer nur einer Peilung (Kompassrichtung) folgen muss. Zwar ist die Strecke der Loxodrome immer länger als die der Orthodrome (nur wenn die Loxodrome auf einem Großkreis liegt, können sie gleich lang sein) – dafür muss man aber nicht ständig einen neuen Kurswinkel berechnen. Auf kürzeren Strecken ist die Navigation auf der Loxodrome nur unwesentlich länger als die Navigation auf der Orthodrome. Im Flugverkehr hingegen werden Lamberts winkeltreue Kegelprojektionen verwendet.

Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle \,(\phi ,\lambda )}$ auf die ebenen Koordinaten ${\displaystyle (X,Y)}$ ab, wobei:

${\displaystyle X=M_{X}(\lambda )=\lambda }$

${\displaystyle Y=M_{Y}(\phi )=\ln \tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\operatorname {arcgd} (\phi )}$

mit der inversen Gudermannfunktion.

Durch die Mercatorprojektion zweier Punkte ${\displaystyle A=(\phi _{A},\lambda _{A})}$ und ${\displaystyle B=(\phi _{B},\lambda _{B})}$ entsteht in der Projektionsebene ein rechtwinkliges Dreieck mit ${\displaystyle {\overline {(X_{A},Y_{A}),(X_{B},Y_{B})}}}$ als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei ${\displaystyle (X_{B},Y_{A})}$. Für den Winkel ${\displaystyle \,\varphi }$ bei ${\displaystyle (X_{A},Y_{A})}$ ergibt sich:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {Y_{B}-Y_{A}}{X_{B}-X_{A}}}={\frac {M_{Y}(\phi _{B})-M_{Y}(\phi _{A})}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}.}$

Unter Verwendung der zweistelligen Funktion ${\displaystyle \,\varphi (x,y),}$ die zu den kartesischen Koordinaten ${\displaystyle \,(x,y)}$ den Winkel der Polarkoordinatendarstellung liefert und als arctan2- oder atan2-Funktion in vielen Programmiersprachen zur Verfügung steht, erhält man:

${\displaystyle \varphi =\varphi {\bigl (}\lambda _{B}-\lambda _{A},\;M_{Y}(\phi _{B})-M_{Y}(\phi _{A}){\bigr )}=\varphi \left(\lambda _{B}-\lambda _{A},\;\ln {\frac {\tan({\frac {\phi _{B}}{2}}+{\frac {\pi }{4}})}{\tan({\frac {\phi _{A}}{2}}+{\frac {\pi }{4}})}}\right).}$

Der Richtungswinkel ${\displaystyle \,\eta }$ der Loxodrome, der von Nord über Ost im Uhrzeigersinn berechnet wird, ist dann:

${\displaystyle \eta ={\frac {\pi }{2}}-\varphi }$

Die Strecke, die man – innerhalb der Mercatorkarte – zwischen Punkt A und B auf der Loxodrome zurücklegt, beträgt:

${\displaystyle l={\sqrt {(\phi _{B}-\phi _{A})^{2}+{\Big (}M_{Y}(\phi _{B})-M_{Y}(\phi _{A}){\Big )}^{2}\cdot (\lambda _{B}-\lambda _{A})^{2}}}}$

Zu beachten ist, dass dies nur die kürzeste Loxodrome ist, wenn ${\displaystyle \lambda _{B}-\lambda _{A}<\pi }$ gilt, sie also in Westrichtung weiter voneinander entfernt sind als in Ostrichtung, im anderen Falle ist das nur der zweitbeste Weg. Außerdem lässt sich zwischen zwei beliebigen Punkten (außer den Polen) immer eine beliebige Anzahl an Loxodromen finden, die dann einmal oder mehrmals die Kugel (Erde) umrunden. Für diese Fälle ist in der anfänglichen Gleichung für ${\displaystyle Y=M_{Y}(\phi )}$ ein anderer Nebenwert des Tangens zu wählen. In der Mercatorprojektion wandert der Graph dabei über den rechten oder linken Rand hinaus und erscheint auf der anderen Seite wieder.

Weblinks

Commons: Loxodrome – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Escher-Bild einer Loxodrome (M. C. Escher, 1958)