Lokale Grenzwertsätze

Als lokale Grenzwertsätze bezeichnet man gewisse mathematische Sätze, die zu den Grenzwertsätzen der Stochastik gezählt werden. Wie alle dieser Grenzwertsätze untersuchen die lokalen Grenzwertsätze Folgen und Summen von Zufallsvariablen. Im Gegensatz zu diesen verwenden sie aber nicht die klassischen Konvergenzbegriffe der Stochastik wie die Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder fast sichere Konvergenz, sondern untersuchen die Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen.

Aufgabenstellung

Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit Verteilungen ${\displaystyle P_{n}}$ und Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ${\displaystyle f_{n}}$. Gesucht ist eine Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion ${\displaystyle f}$ sowie Bedingungen, unter denen

${\displaystyle f_{n}}$ gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert.

Mögliche Probleme sind

• Im Allgemeinen muss die Grenzfunktion selbst bei Konvergenz in Verteilung der ${\displaystyle X_{n}}$ keine Dichtefunktion besitzen.
• Selbst wenn die Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren, müssen die Dichten im Allgemeinen nicht konvergieren.

Beispiel: Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

Ein klassisches Beispiel ist der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace. Ist ${\displaystyle p\in (0,1)}$, sei ${\displaystyle \varphi }$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung und

${\displaystyle x_{n}(k)={\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$.

Dann ist für beliebige ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{\forall k \atop |x_{n}(k)|\leq c}\left|{\frac {{\sqrt {np(1-p)}}\operatorname {Bin} _{n,p}(\{k\})}{\varphi (x_{n}(k))}}-1\right|=0}$.

Weblinks

• V.V. Petrov: Local limit theorems. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 
• A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.