Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)

Als Lokal-Global-Prinzip (Hasse-Prinzip) bezeichnet man in der Zahlentheorie verschiedene Prinzipien, mit denen in manchen Fällen aus der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen modulo aller Primzahlen auf die Lösbarkeit der ursprünglichen Gleichung geschlossen werden kann.

Der Name stammt von modernen Formulierungen, nach der die Lösbarkeit in globalen Körpern aus der Lösbarkeit in deren Vervollständigungen (den lokalen Körpern) gefolgert wird.

Reduktion diophantischer Gleichungen und chinesischer Restsatz

Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form

,

wobei eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.

Wenn eine ganzzahlige Lösung ist, dann sind offensichtlich auch für jede ganze Zahl die Restklassen modulo

Lösungen der modulo "reduzierten" Gleichung

Es ist sogar genau dann eine ganzzahlige Lösung, wenn für alle Primzahlen die reduzierte Gleichung modulo gilt. Mithilfe des chinesischen Restsatzes erhält man außerdem, dass genau dann für jede natürliche Zahl lösbar ist, falls für jede Primzahl und jede natürliche Zahl eine Lösung besitzt.[1]

Es trifft aber im Allgemeinen nicht zu, dass aus der Lösbarkeit der Gleichungen modulo jeder Primzahl oder sogar Primpotenz auch die Lösbarkeit in ganzen Zahlen folgt. Zum Beispiel hat die Gleichung

keine ganzzahlige Lösung, sie ist aber modulo jeder Primzahl lösbar, weil stets mindestens eine der Zahlen ein quadratischer Rest ist.

Lokal-Global-Prinzipien werden heute in der Regel mittels der Vervollständigungen der rationalen Zahlen formuliert, also der p-adischen Zahlen (für alle Primzahlen ) und der reellen Zahlen . Man sagt dann, dass eine Gleichung , wobei eine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten ist, dem Lokal-Global-Prinzip genügt, wenn aus der Lösbarkeit in und in für alle Primzahlen die Lösbarkeit der ursprünglichen Gleichung in folgt. Poonen und Voloch haben bewiesen, dass die Brauer-Manin-Obstruktion die einzige Obstruktion für das Lokal-Global-Prinzip ist.

Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen (Satz von Hasse-Minkowski)

Der Satz von Hasse-Minkowski besagt, dass das Lokal-Global-Prinzip für das Problem der Darstellung der Null durch eine gegebene quadratische Form über dem Körper der rationalen Zahlen (das ist der ursprüngliche Satz von Minkowski) oder allgemeiner über einem Zahlkörper (das bewies Hasse 1921 in seiner Dissertation) gilt.

Wenn also

eine quadratische Form mit Koeffizienten in einem Zahlkörper (zum Beispiel dem Körper der rationalen Zahlen ) ist, dann folgt aus der Existenz von nichttrivialen Nullstellen in und in allen p-adischen Vervollständigungen bereits die Existenz einer nichttrivialen Nullstelle im Zahlkörper.

Dieses Prinzip lässt sich nicht auf kubische Polynome verallgemeinern. Die Gleichung hat nichttriviale Lösungen in und in allen , aber nicht in (Ernst Sejersted Selmer). Auch die Fermat-Gleichung hat Lösungen in allen und , aber nicht in den rationalen Zahlen.

Eng mit dem Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen hängt das Hasse-Prinzip für algebraische Gruppen zusammen. Dieses besagt, dass man für eine einfach zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Zahlkörper einen Isomorphismus der Galois-Kohomologie

hat, wobei alle Vervollständigungen von durchläuft.[2] Dieses Prinzip wurde beim Beweis der Weil-Vermutung für Tamagawa-Zahlen und des starken Approximationssatzes in algebraischen Gruppen verwandt.

Literatur

  • Gerhard Frey: Elementare Zahlentheorie. Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik, 56. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. ISBN 3-528-07256-3

Einzelnachweise

  1. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Unveränderter Nachdruck der ersten Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 3-540-37547-3, S. 108–109.
  2. Martin Kneser: Hasse principle for H1 of simply connected groups. 1966 Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) pp. 159–163 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.