Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen und matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unterteilt in diskrete multivariate Verteilungen, absolutstetige multivariate Verteilungen und matrixvariate Verteilungen.

Notation

Es gelten folgende Konventionen:

Ist $x\in \mathbb {R} ^{n}$ , so ist $x>0$ und $x\geq 0$ komponentenweise zu verstehen, also $x\geq 0$ genau dann, wenn $x_{i}\geq 0$ für alle $i$
Ist $X\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , so bezeichnen die Ordnungssymbole die Loewner-Halbordnung, also $X>0$ genau dann wenn $X$ positiv definit ist und $X>Y$ genau dann, wenn $X-Y>0$
$\mathbf {1} _{k}$ bezeichnet den Einsvektor der Länge $k$ und $\mathbf {1} _{k\times k}$ die $k\times k$ -Einheitsmatrix.

Abkürzend wird verwendet

a_{1}+a_{2}+\dots +a_{k}=\mathbf {1} _{k}^{T}a

, wobei

a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})

ist.

\operatorname {etr} (A)=\exp(\operatorname {spur} (A))

.

für ein $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ . $\operatorname {spur} (A)$ bezeichnet hier die Spur der Matrix $A$ .

Diskret Multivariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsfunktion	Bemerkung
Multinomial-Verteilung, Polynomial-Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}x=n$	$p$ stochastischer Vektor aus $\mathbb {R} ^{k}$	$f(x)={n \choose x}\;\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}$	Verallgemeinerung der Binomial-Verteilung, ${n \choose x}$ ist der Multinomialkoeffizient
Negativmultinomial-Verteilung,^[1] Negative Multinomial-Verteilung, Negative Polynomial-Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$	$p\in \mathbb {R} ^{k}$ , $p_{i}\in (0,1)$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}p\leq 1$ , $\alpha \in (0,+\infty )$	: $f(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\mathbf {1} _{k}^{T}x)(1-\mathbf {1} _{k}^{T}p)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}$	Verallgemeinerung der negativen Binomialverteilung
Multivariate hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung^[2]	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ , $x_{1}+\dots +x_{k}=n$	$B\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}B=N$ , $n,N\in \mathbb {N}$ , $n\leq N$	$f(x)={\binom {N}{n}}^{-1}\prod _{i=1}^{k}{\binom {B_{i}}{x_{i}}}$	Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung
Polyhypergeometrische Verteilung^[1]	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n$	$n,N\in \mathbb {N}$ , $n\leq N$ , $K\in \{1,\dots ,N-1\}^{k}$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}K\leq N$	$f(x)={\binom {n}{M}}^{-1}{\binom {1-\mathbf {1} _{k}^{T}K}{n-\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {K_{i}}{x_{i}}}$	Verallgemeinerung der multivariaten hypergeometrischen Verteilung
Multivariate Poisson-Verteilung^[1]	$\mathbb {N} _{0}^{k}$	$\alpha \in \mathbb {R} ^{k}$ , $\alpha >0$	$f(x):=\prod _{i=1}^{k}e^{-\alpha _{i}}{\frac {\alpha _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}$	-
Pólya/Eggenberger-Verteilung^[1]	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n$	$n\in \mathbb {N}$ , $a\in (0,+\infty )$ , $b\in \mathbb {R} ^{k}$ , $b>0$ , $\mathbf {1} _{k}^{T}b\leq a$	$f(x)={\frac {{\binom {a+n-1-\mathbf {1} _{k}^{T}(b-x)}{n+\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {b_{i}+x_{i}-1}{x_{i}}}}{\binom {a+n-1}{n}}}$	-

Absolutstetig Multivariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion	Bemerkung
Mehrdimensionale Normalverteilung, multivariate Normalverteilung^[3]	$\mathbb {R} ^{n}$	$\mu \in \mathbb {R} ^{n}$ , $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , $\Sigma >0$ .	: $f(x)={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{p}\det(\Sigma )}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$	Verallgemeinerung der Normalverteilung
Dirichlet-Verteilung (der Ordnung $K$ )^[4]	$x\in \mathbb {R} ^{K}$ , $\mathbf {1} _{K}^{T}x=1$ , $x\geq 0$	$\alpha \in \mathbb {R} ^{n}$ , $\alpha >0$	$f(x)={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}{\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$	-

Matrixvariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion	Bemerkung
Matrixvariate Normalverteilung (englisch matrix variate normal distribution)^[5]	$\mathbb {R} ^{n\times p}$	$M\in \mathbb {R} ^{n\times p}$ , $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , $V\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ , $U>0$ , $V>0$	$f(X)={\frac {\operatorname {etr} \left(-{\frac {1}{2}}\left[V^{-1}(X-M)^{T}U^{-1}(X-M)\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}\det(V)^{n/2}\det(U)^{p/2}}}$	Verallgemeinerung der Normalverteilung
Wishart-Verteilung^[5]	$\mathbb {R} ^{p\times p}$	$V\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ , $V>0$ , Freiheitsgrad $n\geq p$	$f(X)={\frac {\det(X)^{\tfrac {n-p-1}{2}}\operatorname {etr} \left(-{\tfrac {1}{2}}V^{-1}X\right)}{2^{\tfrac {np}{2}}\det(V)^{\tfrac {n}{2}}\Gamma _{p}({\tfrac {n}{2}})}}$	Hierbei bezeichnet $\Gamma _{p}(\cdot )$ die Multivariate Gamma-Funktion. Die Wishart-Verteilung ist die matrixvariate Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung.
Matrixvariate Studentsche t-Verteilung (englisch matrix variate t-distribution)^[5]	$\mathbb {R} ^{n\times p}$	$M\in \mathbb {R} ^{n\times p}$ , $\Omega \in \mathbb {R} ^{p\times p}$ , $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , $\Omega >0,\Sigma >0$ , Freiheitsgrad $\nu$	$f(X)={\frac {\Gamma _{p}\left({\tfrac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\tfrac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}\det(\Omega )^{-{\tfrac {n}{2}}}\det(\Sigma )^{-{\tfrac {p}{2}}}$ $\cdot \det \left(\mathbb {1} _{n\times n}+\Sigma ^{-1}(X-M)\Omega ^{-1}(X-M)^{T}\right)^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}$	Verallgemeinerung der studentschen t-Verteilung
Matrixvariate Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-I distribution)^[5]	$X\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ , $0<X<\mathbb {1} _{p\times p}$	$a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)$	$f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{b-(p+1)/2}$	Verallgemeinerung der Beta-Verteilung
Matrixvariate inverse Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-II distribution)^[5]	$X\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ , $0<X$	$a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)$	$f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{-(a+b)}$	Verallgemeinerung der inversen Beta-Verteilung

Siehe auch

Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c ^d Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 296–300, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
↑ Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 334, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 562–563, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e A.K. Gupta: Matrix variate distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

[KlausSchmidtMuW-1] Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 296–300, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

[Georgii-2] Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

[3] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 334, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

[4] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 562–563, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

[encyclomath-5] A.K. Gupta: Matrix variate distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

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