Lineare Hülle

Ein Vektor und seine lineare Hülle .
Die grüne Ebene stellt die lineare Hülle der beiden Vektoren und dar. ( ist eine Linearkombination der beiden Vektoren.)

In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann, Erzeugnis oder Abschluss[1] genannt) einer Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus und Skalaren aus . Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der enthält.

Definition

Konstruktive Definition

Ist ein Vektorraum über einem Körper und eine Teilmenge des Vektorraums, dann ist

[2]

die lineare Hülle von . Die lineare Hülle ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der .

Im Fall einer endlichen Teilmenge vereinfacht sich diese Definition zu

.

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum, das heißt

,

denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor.

Andere Definitionen

Äquivalent zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge enthält.
  • Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums ist die Schnittmenge aller Untervektorräume von , die enthalten.

Notation

Als Symbole für die lineare Hülle von werden bzw. , , , oder verwendet. Ist endlich, etwa , werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen , oder verwendet werden.

Eigenschaften

Seien zwei Mengen Teilmengen des -Vektorraumes: . Dann gilt:

  1. ,
  2. ,
  3. .

Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.[1]

Weiter gilt:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums ist ein Untervektorraum von .
  • Für jeden Unterraum eines Vektorraums gilt .
  • Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.
  • Die Summe zweier Unterräume ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also .
  • In der Menge der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet dann einen Verband.
  • Sind Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle die Dimensionsformel:
.

Beispiele

  • Die lineare Hülle eines einzelnen Vektors ist eine Gerade durch den Ursprung.
  • Die beiden Vektoren und sind Elemente des reellen Vektorraums . Ihre lineare Hülle ist die --Ebene.
  • Sei der Vektorraum der formalen Potenzreihen zum Körper und die Menge der Monome. Dann ist die lineare Hülle von der Unterraum der Polynome:
    .

Literatur

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 9783834809964, 384 Seiten.

Einzelnachweise

  1. a b Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162
  2. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30

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Zeigt einen Vektor und seine lineare Hülle
Vectores coplanarios.png
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Tres vectores en un mismo plano. Uno de ellos es combinación lineal de los otros dos.