Lindelöfsche Vermutung

Die lindelöfsche Vermutung ist eine 1905 von Ernst Leonard Lindelöf aufgestellte^[1] und bis heute unbewiesene Vermutung über die Ordnung der riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (s)}$ entlang der „kritischen Geraden“ ${\displaystyle 1/2+\mathrm {i} t}$.

Die lindelöfsche Vermutung besagt, dass ${\displaystyle |\zeta (1/2+\mathrm {i} t)|={\mathcal {O}}(t^{\epsilon })}$ für ${\displaystyle t\to \infty }$ und jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$. Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ das Bachmann-Landau-Symbol.

Bisher konnten nur schwächere Aussagen der Form ${\displaystyle |\zeta (1/2+\mathrm {i} t)|={\mathcal {O}}(t^{k+\epsilon })}$ bewiesen werden: Der 1930 von Johannes van der Corput und Jurjen Koksma ermittelte Wert^[2] ${\displaystyle k=1/6=0{,}166\dots }$ konnte seither schrittweise leicht verbessert werden, zuletzt auf ${\displaystyle k=89/570=0{,}156\dots }$ von Martin Huxley^[3].

Die lindelöfsche Vermutung ist schwächer als die riemannschen Vermutung: Mit einem Beweis der riemannschen Vermutung wäre auch die lindelöfsche Vermutung bewiesen, nicht jedoch umgekehrt.

Literatur

• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function. 2. Auflage, Clarendon Press, Oxford 1986, ISBN 0-19-853369-1.

Einzelnachweise

1. ↑ E. Lindelöf: Le calcul des résidus et ses applications dans la théorie des fonctions. Gauthier-Villars, Paris 1905.
2. ↑ J-G. Van der Corput, J.-F. Koksma: Sur l'ordre de grandeur de la fonction ζ(s) de Riemann dans la bande critique. Annales de la faculté des sciences de l'Université de Toulouse, 3^e série, Band 22, 1930, Seiten 1–39, PDF-Datei.
3. ↑ M. N. Huxley: Exponential Sums and the Riemann Zeta Function V. Proceedings of the London Mathematical Society 2005 90(1):1-41, doi:10.1112/S0024611504014959