Lerchsche Zeta-Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die beiden Funktionen

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\,\pi \,i\,\lambda \,n)}{(n+\alpha )^{s}}}}$

und

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$

werden als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch

${\displaystyle \,\Phi (\exp(2\,\pi \,\,i\,\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha )}$

gegeben.

Spezialfälle und spezielle Werte

• Die Hurwitzsche Zeta-Funktion:

${\displaystyle \,\zeta (s,n)=L(0,s,n)=\Phi (1,s,n)}$

• Der Polylogarithmus:

${\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\,\Phi (z,s,1)}$

• Die Legendresche Chi-Funktion:

${\displaystyle \,\chi _{n}(z)=2^{-n}\,z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}})}$

• Die Riemannsche ζ-Funktion:

${\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1)}$

• Die Dirichletsche η-Funktion:

${\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1)}$

• Die Dirichletsche Beta-Funktion:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\,\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):^[1]

${\displaystyle \Phi (z,s,1)={\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z}}}$

${\displaystyle \Phi (z,0,a)={\frac {1}{1-z}}}$

${\displaystyle \Phi (0,s,a)=\left(a^{2}\right)^{-{\frac {s}{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (0,s,a)=a^{-s}\,}$

${\displaystyle \Phi (z,1,1)=-{\frac {\log(1-z)}{z}}}$

${\displaystyle \Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})=(2^{s}-1)\zeta (s)}$

${\displaystyle \Phi (-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)\,}$

${\displaystyle \Phi (0,1,a)={\frac {1}{\sqrt {a^{2}}}}}$

Ferner ist

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4\,G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\log \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\,\zeta (3)}{4\,\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}}$

mit der catalanschen Konstanten ${\displaystyle G}$, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten ${\displaystyle A}$ und der Apéry-Konstanten ${\displaystyle \zeta (3)}$ der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\mathrm {e} ^{-at}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \quad }$ für ${\displaystyle {\begin{cases}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}}$

Das Kurvenintegral

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\,\pi \,i}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(-t)^{s-1}\mathrm {e} ^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}$

mit ${\displaystyle \mathrm {Re} \;a>0,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z<1}$ darf die Punkte ${\displaystyle t=\log z+2\,k\,\pi \,i,\;k\in \mathbb {Z} }$ nicht enthalten.

Ferner ist

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}$

für ${\displaystyle \mathrm {Re} \;a>0}$ und ${\displaystyle |z|<1}$.

Ebenso ist

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}{\dfrac {1}{z}}}{z^{a}}}\,\Gamma (1-s,a\log {\dfrac {1}{z}})+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}$

für ${\displaystyle \mathrm {Re} \,a>0}$.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.}$

Sie gilt für alle ${\displaystyle s}$ und komplexe ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z<{\tfrac {1}{2}}}$; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls ${\displaystyle s}$ positiv und ganz ist, gilt

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}z}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}z}{(n-1)!}}\right\}.}$

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s,k){\frac {(-x)^{k}}{k!}}}$

für ${\displaystyle |x|<\mathrm {Re} \,a}$ unter Verwendung des Pochhammer-Symbol ${\displaystyle (s,k)}$ gegeben.

Im Grenzwert ${\displaystyle a\rightarrow -n}$ gilt

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}}$.

Der Spezialfall ${\displaystyle n=0}$ hat folgende Reihe:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}}$

für ${\displaystyle |a|<1}$.

Die asymptotische Entwicklung für ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$ ist gegeben durch

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2\,k\,\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{2\,k\,\pi \,a\,i}}$

für ${\displaystyle |a|<1,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z\notin (-\infty ,0)}$ und

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2\,k+1)\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{(2\,k+1)\pi \,a\,i}}$

wenn ${\displaystyle |a|<1,\;\mathrm {Re} \,s<0,\;z\notin (0,\infty )}$.

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-2\,\pi \,i\,(k-1)a}\,\Gamma (1-s,a\,(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{2\,\pi \,i\,k\,a}\,\Gamma (1-s,a\,(2\,\pi \,i\,k-\log z))}{(2\,\pi \,i\,k-\log z)^{1-s}}}}$

mit ${\displaystyle |a|<1}$ und ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s<0}$.

Identitäten und weitere Formeln

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\,\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}\,{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)}$

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \,\setminus [1,\infty ){\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>-2\}}$ oder ${\displaystyle \{z=1{\text{ und Re}}\;s>-1\}}$^[2]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+1)\,{\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}}$

und

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s)\,\Phi (z,s+2,u)}$.

Literatur

• Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}}$, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
• Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
• M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ${\displaystyle {}_{2}\psi _{2}}$, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
• Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Weblinks

• S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und H. Tsukada: A generalization of Bochner's formula, undatiert, 2005 oder früher (Memento vom 13. April 2014 im Internet Archive)
• Eric W. Weisstein: Lerch Transcendent. In: MathWorld (englisch).
• Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF; 112 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
2. ↑ Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)