Leray-Spektralsequenz

In der Mathematik ist die Leray-Spektralsequenz ein Hilfsmittel zur Berechnung der Garbenkohomologie.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Betrachte den Funktor ${\displaystyle f_{*}}$, der jeder Garbe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ über ${\displaystyle X}$ ihr direktes Bild ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ über ${\displaystyle Y}$ zuordnet. Seien ${\displaystyle R^{i}f_{*}}$ seine abgeleiteten Funktoren. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}}))}$,

die gegen

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

konvergiert.

Zugang über Doppelkomplexe für Garben von Differentialformen

Sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Für eine Überdeckung ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ von ${\displaystyle Y}$ definiere einen Doppelkomplex als Čech-Komplex ${\displaystyle C^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega ^{q})}$ für die Garbe der Differentialformen ${\displaystyle \Omega ^{*}}$.

Falls ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ eine gute Überdeckung ist, dann ist die Kohomologie dieses Doppelkomplexes die De-Rham-Kohomologie ${\displaystyle H_{dR}^{*}(X)}$. Zu dem Doppelkomplex hat man eine Spektralsequenz mit ${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}_{dR}^{q})}$.

Anwendung auf Faserbündel

Für ein Faserbündel ${\displaystyle f\colon E\to B}$ mit Faser ${\displaystyle F}$ erhält man eine gegen ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=H^{p+q}(E)}$ konvergierende Spektralsequenz mit ${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(B,{\mathcal {H}}^{q}(F))}$.

Für Sphärenbündel kann man daraus die Gysin-Sequenz herleiten.

Die Verallgemeinerung der Leray-Spektralsequenz auf Serre-Faserungen wird als Leray-Serre-Spektralsequenz bezeichnet.

Weblinks

• Leray spectral sequence (Encyclopedia of Mathematics)
• Leray spectral sequence (nLab)