Leray-Schauder-Alternative

Die Leray-Schauder-Alternative ist eine mathematische Aussage aus dem Bereich der nichtlinearen Funktionalanalysis.

Sie wurde von den Mathematikern Jean Leray und Juliusz Schauder bewiesen und nach ihnen benannt. Die Leray-Schauder-Alternative gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Fixpunktes. Die zentrale Bedingung der Aussage trägt einen eigenständigen Namen und wird Leray-Schauder-Randbedingung genannt. Der Satz hat zahlreiche Korollare, die schon vor Entdeckung der Leray-Schauder-Alternative bekannt waren und eigenständige Bedeutung haben.

Leray-Schauder-Randbedingung

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum. Die stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to X}$ erfüllt die Leray-Schauder-Randbedingung, falls ein ${\displaystyle r>0}$ existiert, so dass aus ${\displaystyle \|x\|=r}$ die Ungleichheit ${\displaystyle f(x)\neq \lambda x}$ für alle ${\displaystyle \lambda >1}$ folgt.

Leray-Schauder-Alternative

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine kompakte Abbildung, die der Leray-Schauder-Randbedingung genügt, dann hat ${\displaystyle f}$ mindestens einen Fixpunkt.

Die Aussage trägt die Bezeichnung Alternative, weil entweder die Gleichung ${\displaystyle f(x)=\lambda x}$ für ein ${\displaystyle \lambda >1}$ oder die Gleichung ${\displaystyle f(x)=x}$ eine Lösung hat. Jedoch bietet der Satz keine notwendigen Bedingungen, daher können für bestimmte ${\displaystyle f}$ auch beide Gleichungen erfüllt sein. Das zentrale Hilfsmittel für den Beweis des Satzes ist der Leray-Schauder-Abbildungsgrad.

Spezialfälle

In diesem Abschnitt werden hinreichende Bedingungen für Fixpunkte aufgeführt, die von Altman, Krasnoselskii und anderen bewiesen wurden und als Spezialfälle der Leray-Schauder-Alternative verstanden werden können. Im Folgenden sei ${\displaystyle X}$ normierter Raum, ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine stetige Funktion und ${\displaystyle B_{r}=\{x:\|x\|<r\}\subset X}$ eine Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$.

Satz von Altman

Sei ${\displaystyle x\in \partial B_{r}}$ und gelte

${\displaystyle \|x-f(x)\|^{2}\geq \|f(x)\|^{2}+\|x\|^{2},}$

dann hat ${\displaystyle f}$ mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1957 von Altman bewiesen.

Satz von Petryshyn

Sei ${\displaystyle x\in \partial B_{r}}$ und gelte

${\displaystyle \|x-f(x)\|\geq \|f(x)\|,}$

dann hat ${\displaystyle f}$ mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1963 von Volodymyr Petryshyn bewiesen.

Satz von Krasnoselskii

Sei ${\displaystyle X}$ ein Prähilbertraum, ${\displaystyle x\in \partial B_{r}}$ und gelte

${\displaystyle \langle f(x),x\rangle \leq \|x\|^{2},}$

dann hat ${\displaystyle f}$ mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde von Mark Krasnosel'skii im Jahr 1953 gezeigt. Sie kann als Spezialfall der Aussage von Altman für Prähilberträume verstanden werden.

Satz von Rothe

Sei ${\displaystyle x\in \partial B_{r}}$ und gelte

${\displaystyle \|f(x)\|\leq \|x\|,}$

dann hat ${\displaystyle f}$ mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1937 von Rothe bewiesen.

Quellen

• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 204.
• Robert F. Brown: A topological introduction to nonlinear analysis. Birkhäuser 2004, ISBN 0817632581, Seite 27.
• Vasile I. Istratescu: Fixed Point Theory an Introduction. Springer Science & Business 2001, ISBN 9027712247, Seite 166.