Sinus lemniscatus sl (schwarz) und Cosinus lemniscatus cl (blau), zum Vergleich der auf sl normierte Sinus (hellgrau) Die Länge s des Lemniskatenbogens vom Ursprung korreliert mit dem Abstand r des Kurvenpunktes zum Ursprung.Quadrant enthält einen Viertelbogen (der Länge ϖ 2 {\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}} Brennpunkte liegen hier bei ( ± 1 2 ∣ 0 ) {\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\mid 0\right)} Der Lemniskatische Sinus und der Lemniskatische Cosinus (kurz sinlemn und coslemn oder sl {\displaystyle \operatorname {sl} } cl {\displaystyle \operatorname {cl} } Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Funktionen aus der Gruppe der elliptischen Funktionen. Der Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus entsprechen denjenigen Funktionen für die Lemniskate , welche der Sinus und Cosinus für den Kreis sind. Der lemniskatische Cosinus leitet sich direkt vom lemniskatischen Sinus ab. Denn indem die Funktion sl {\displaystyle \operatorname {sl} } ϖ ÷ 2 {\displaystyle \varpi \div 2} cl {\displaystyle \operatorname {cl} } elliptischen Funktionen . Nach der Definition durch Jacobi ist der Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei der elliptische Modul der lemniskatischen Funktionen.
Geschichte Der 19-jährige Gauß beschäftigte sich 1796 (in erst nach seinem Tod veröffentlichten Notizen) mit der Frage, wie man aus einer gegebenen Bogenlänge s {\displaystyle s} r ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle r\in (-1,1)} r = 0 {\displaystyle r=0} Umkehrfunktion r = r ( s ) {\displaystyle r=r(s)} elliptischen Integrals
s ( r ) = ∫ 0 r d ρ 1 − ρ 4 . {\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}.} Beweis:
Für den ersten und dritten Quadranten kann die Lemniskate von Bernoulli auf folgende Weise parametrisiert werden: x und y als Koordinaten eines Punktes auf der Kurve im Abstand r vom Ursprung (Pythagoras) erfüllen die Lemniskatengleichung. Aus diesen zwei Gleichungen ergeben sich
x ( r ) = r 1 + r 2 / 2 {\displaystyle x(r)=r{\sqrt {1+r^{2}}}/{\sqrt {2}}} y ( r ) = r 1 − r 2 / 2 {\displaystyle y(r)=r{\sqrt {1-r^{2}}}/{\sqrt {2}}} Für die Berechnung der vom Ursprung ausgehenden Kurvenlänge s wird der Pythagoras der ersten Ableitungen von x und y gebildet und dieser integriert:
s ( r ) = ∫ 0 r [ d d r x ( r ) ( r = ρ ) ] 2 + [ d d r y ( r ) ( r = ρ ) ] 2 d ρ = {\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}x(r)(r=\rho )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}y(r)(r=\rho )\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =} = ∫ 0 r [ d d ρ ρ 1 + ρ 2 / 2 ] 2 + [ d d ρ ρ 1 − ρ 2 / 2 ] 2 d ρ = {\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1+\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =} = ∫ 0 r ( 1 + 2 ρ 2 ) 2 2 ( 1 + ρ 2 ) + ( 1 − 2 ρ 2 ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) d ρ = ∫ 0 r 1 1 − ρ 4 d ρ {\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2\rho ^{2})^{2}}{2(1+\rho ^{2})}}+{\frac {(1-2\rho ^{2})^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}\mathrm {d} \rho =\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\mathrm {d} \rho } Gauß nannte diese Umkehrfunktion Sinus lemniscatus und bezeichnete sie mit sl {\displaystyle \operatorname {sl} }
r = sl s {\displaystyle r=\operatorname {sl} \,s} Entsprechend definierte er den Cosinus lemniscatus cl s = sl ( ϖ 2 − s ) {\displaystyle \operatorname {cl} \,s=\operatorname {sl} \,({\tfrac {\varpi }{2}}-s)} ϖ {\displaystyle \varpi }
ϖ = 2 ∫ 0 1 d ρ 1 − ρ 4 ≈ 2,622 05 75542 92119 81046 48395 89891 … {\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\approx 2{,}62205\ 75542\ 92119\ 81046\,48395\ 89891\ldots } A062539 in OEIS )Gauß ließ sich bei diesen Bezeichnungen von der Analogie zu den Kreisfunktionen leiten, denn der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals
s ( r ) = ∫ 0 r d ρ 1 − ρ 2 , und 2 ∫ 0 1 d ρ 1 − ρ 2 = π . {\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}},\qquad {\mbox{und}}\qquad 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}=\pi .} also r = sin s {\displaystyle r=\sin s} cos s = sin ( π 2 − s ) {\displaystyle \cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)} sl {\displaystyle \operatorname {sl} } cl {\displaystyle \operatorname {cl} } Komplexe fortzusetzen. Er bewies dann die Periodizitätsrelationen
sl ( s + 2 ϖ ) = sl s , sl ( s + 2 i ϖ ) = sl s . {\displaystyle \operatorname {sl} \,(s+2\varpi )=\operatorname {sl} \,s,\qquad \operatorname {sl} \,(s+2\mathrm {i} \varpi )=\operatorname {sl} \,s.} Im Gegensatz zum Sinus hat also der lemniskatische Sinus sl {\displaystyle \operatorname {sl} } zwei Perioden 2 ϖ {\displaystyle 2\varpi } 2 i ϖ {\displaystyle 2\mathrm {i} \varpi } cl {\displaystyle \operatorname {cl} } elliptisch . Carl Gustav Jacobi führte um 1830 die jacobischen elliptischen Funktionen ein und verallgemeinerte damit die beiden lemniskatischen Funktionen. Diese lassen sich auf folgende Weise durch die Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(1) = 1/sqrt(2) ausdrücken:
sl ( s ) = sd ( 2 s ; 1 / 2 ) / 2 {\displaystyle \operatorname {sl} \,(s)=\operatorname {sd} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})/{\sqrt {2}}} cl ( s ) = cn ( 2 s ; 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {cl} \,(s)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})} Somit sind der lemniskatische Sinus und der lemniskatische Cosinus auch über die Thetafunktionen auf folgende Weise[ 1]
sl ( s ) = ϑ 10 ( π / 2 − π s / ϖ ; e − π ) ϑ 01 ( π / 2 − π s / ϖ ; e − π ) {\displaystyle \operatorname {sl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}} cl ( s ) = ϑ 10 ( π s / ϖ ; e − π ) ϑ 01 ( π s / ϖ ; e − π ) {\displaystyle \operatorname {cl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}}
Algebraische Beziehungen Folgende algebraische Beziehung gilt für die lemniskatischen Funktionen:
[ 1 + sl ( x ) 2 ] ⋅ [ 1 + cl ( x ) 2 ] = 2 {\displaystyle [1+\operatorname {sl} (x)^{2}]\cdot [1+\operatorname {cl} (x)^{2}]=2} Die Additionstheoreme für die lemniskatischen Funktionen lauten wie folgt:
sl ( a + b ) = sl ( a ) ⋅ cl ( b ) + cl ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 − sl ( a ) ⋅ cl ( a ) ⋅ sl ( b ) ⋅ cl ( b ) {\displaystyle \operatorname {sl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)+\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1-\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)\cdot \operatorname {cl} (b)}}} cl ( a + b ) = cl ( a ) ⋅ cl ( b ) − sl ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 + sl ( a ) ⋅ cl ( a ) ⋅ sl ( b ) ⋅ cl ( b ) {\displaystyle \operatorname {cl} (a+b)={\frac {\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)-\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)\cdot \operatorname {cl} (b)}}} Alternative Darstellungen für die Additionstheoreme:
sl ( a + b ) = sl ( a ) ⋅ sl ′ ( b ) + sl ′ ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 + sl ( a ) 2 ⋅ sl ( b ) 2 {\displaystyle \operatorname {sl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} '(b)+\operatorname {sl} '(a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)^{2}\cdot \operatorname {sl} (b)^{2}}}} cl ( a + b ) = sl ′ ( a ) ⋅ sl ′ ( b ) − 2 ⋅ sl ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 + sl ( a ) 2 + sl ( b ) 2 − sl ( a ) 2 ⋅ sl ( b ) 2 {\displaystyle \operatorname {cl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} '(a)\cdot \operatorname {sl} '(b)-2\cdot \operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)^{2}+\operatorname {sl} (b)^{2}-\operatorname {sl} (a)^{2}\cdot \operatorname {sl} (b)^{2}}}} Dabei gilt die Beziehung sl' = cl*(1+sl^2).
Darstellung über den Arkustangens:
arctan [ sl ( a + b ) ] = arctan [ sl ( a ) ⋅ cl ( b ) ] + arctan [ cl ( a ) ⋅ sl ( b ) ] {\displaystyle \arctan[\operatorname {sl} (a+b)]=\arctan[\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)]+\arctan[\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)]} arctan [ cl ( a + b ) ] = arctan [ cl ( a ) ⋅ cl ( b ) ] − arctan [ sl ( a ) ⋅ sl ( b ) ] {\displaystyle \arctan[\operatorname {cl} (a+b)]=\arctan[\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)]-\arctan[\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)]} Für die Verdopplung gelten diese Formeln:
sl ( 2 x ) = 2 sl ( x ) cl ( x ) 1 + sl ( x ) 2 1 + sl ( x ) 4 {\displaystyle \operatorname {sl} (2x)=2\,\operatorname {sl} (x)\operatorname {cl} (x){\frac {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}{1+\operatorname {sl} (x)^{4}}}} cl ( 2 x ) = − 1 + 2 cl ( x ) 2 + cl ( x ) 4 1 + 2 cl ( x ) 2 − cl ( x ) 4 {\displaystyle \operatorname {cl} (2x)={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} (x)^{2}+\operatorname {cl} (x)^{4}}{1+2\,\operatorname {cl} (x)^{2}-\operatorname {cl} (x)^{4}}}} Dementsprechend gelten folgende Formeln für die Halbierung:
sl ( x 2 ) 2 = 1 − cl ( x ) 1 + sl ( x ) 2 1 + sl ( x ) 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1-\operatorname {cl} (x){\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}+1}}} cl ( x 2 ) 2 = 1 + cl ( x ) 1 + sl ( x ) 2 1 + sl ( x ) 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {cl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1+\operatorname {cl} (x){\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}+1}}} Für die Verdreifachung gilt Folgendes:
sl ( 3 x ) = 3 sl ( x ) − 6 sl ( x ) 5 − sl ( x ) 9 1 + 6 sl ( x ) 4 − 3 sl ( x ) 8 {\displaystyle \operatorname {sl} (3x)={\frac {3\,\operatorname {sl} (x)-6\,\operatorname {sl} (x)^{5}-\operatorname {sl} (x)^{9}}{1+6\,\operatorname {sl} (x)^{4}-3\,\operatorname {sl} (x)^{8}}}} Diese alternativen Darstellungen ermöglichen eine Umkehrung durch Lösen kubischer Gleichungen:
sl ( 3 x ) = 27 4 ( 3 + 1 ) y − 2 y 3 2 + 27 4 ( 3 + 1 ) y 2 [ y = 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) + 2 sl ( x ) 3 2 − 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y-{\sqrt {2}}y^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y^{2}}}\left[y={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)+{\sqrt {2}}\operatorname {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)^{2}}}\right]} sl ( 3 x ) = 27 4 ( 3 + 1 ) z + 2 z 3 2 − 27 4 ( 3 + 1 ) z 2 [ z = 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) − 2 sl ( x ) 3 2 + 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z+{\sqrt {2}}z^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z^{2}}}\left[z={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)-{\sqrt {2}}\operatorname {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)^{2}}}\right]} Der Cosinus Lemniscatus ergibt sich als negatives Analogon zum Sinus Lemniscatus:
cl ( 3 x ) = − 3 cl ( x ) + 6 cl ( x ) 5 + cl ( x ) 9 1 + 6 cl ( x ) 4 − 3 cl ( x ) 8 {\displaystyle \operatorname {cl} (3x)={\frac {-3\,\operatorname {cl} (x)+6\,\operatorname {cl} (x)^{5}+\operatorname {cl} (x)^{9}}{1+6\,\operatorname {cl} (x)^{4}-3\,\operatorname {cl} (x)^{8}}}}
Ableitungen Die lemniskatischen Funktionen haben folgende Ableitungen:
d d x sl ( x ) = cl ( x ) ⋅ [ 1 + sl ( x ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sl} (x)=\operatorname {cl} (x)\cdot [1+\operatorname {sl} (x)^{2}]} d d x cl ( x ) = − sl ( x ) ⋅ [ 1 + cl ( x ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cl} (x)=-\operatorname {sl} (x)\cdot [1+\operatorname {cl} (x)^{2}]} Daraus folgt die Tatsache, dass die zweite Ableitung das negative doppelte vom Kubus ist.
d d x d d x sl ( x ) = − 2 ⋅ sl ( x ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sl} (x)=-2\cdot \operatorname {sl} (x)^{3}} d d x d d x cl ( x ) = − 2 ⋅ cl ( x ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cl} (x)=-2\cdot \operatorname {cl} (x)^{3}} Über die Formeln der Ableitungen lassen sich ebenso die Stammfunktionen von Sinus Lemniscatus und Cosinus lemniscatus ermitteln.
cl ( x ) = d d x arctan [ sl ( x ) ] {\displaystyle \operatorname {cl} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\operatorname {sl} (x)]} sl ( x ) = − d d x arctan [ cl ( x ) ] {\displaystyle \operatorname {sl} (x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\operatorname {cl} (x)]}
Spezielle Werte Einzelne Funktionswerte für die lemniskatischen Funktionen:
sl ( 0 ) = 0 = cl ( ϖ 2 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left(0\right)=0=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)} sl ( ϖ 2 ) = 1 = cl ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)=1=\operatorname {cl} \left(0\right)} sl ( ϖ 4 ) = 2 − 1 = cl ( ϖ 4 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)} sl ( ϖ 6 ) = 1 2 ⋅ ( 3 + 1 − 12 4 ) = cl ( ϖ 3 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)} sl ( ϖ 3 ) = 3 8 2 4 ⋅ 3 − 1 = cl ( ϖ 6 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)={\frac {\sqrt[{8}]{3}}{\sqrt[{4}]{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)} sl ( ϖ 8 ) = ( 2 4 − 1 ) ⋅ ( 2 + 1 − 2 + 2 ) = cl ( 3 ⋅ ϖ 8 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\operatorname {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)} sl ( 3 ⋅ ϖ 8 ) = ( 2 4 − 1 ) ⋅ ( 2 + 1 + 2 + 2 ) = cl ( ϖ 8 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)} sl ( ϖ 5 ) = 1 2 ⋅ 2 4 ⋅ ( 5 − 1 ) ⋅ 20 4 − 5 − 1 = cl ( 3 ⋅ ϖ 10 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\operatorname {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)} sl ( 2 ⋅ ϖ 5 ) = 1 2 ⋅ 2 4 ⋅ ( 5 − 1 ) ⋅ 20 4 + 5 − 1 = cl ( ϖ 10 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)} sl ( ϖ 10 ) = 1 2 ⋅ ( 5 4 − 1 ) ⋅ ( 5 + 2 − 1 ) = cl ( 2 ⋅ ϖ 5 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)} sl ( 3 ⋅ ϖ 10 ) = 1 2 ⋅ ( 5 4 − 1 ) ⋅ ( 5 + 2 + 1 ) = cl ( ϖ 5 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)} Weitere lemniskatische Funktionswerte in trigonometrischer Darstellung:
sl ( 1 12 ϖ ) = 1 2 8 4 [ sin ( 5 24 π ) − 3 4 sin ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 − 1 ) = cl ( 5 12 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{12}}\varpi {\bigr )}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}-1\right)=\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {5}{12}}\varpi {\bigr )}} sl ( 5 12 ϖ ) = 1 2 8 4 [ sin ( 5 24 π ) − 3 4 sin ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 + 1 ) = cl ( 1 12 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {5}{12}}\varpi {\bigr )}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}+1\right)=\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {1}{12}}\varpi {\bigr )}} sl ( 1 14 ϖ ) = tanh { 1 2 arcoth [ 1 2 2 cos ( 3 14 π ) cot ( 1 28 π ) + cos ( 1 7 π ) ] } = cl ( 3 7 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}=\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {3}{14}}\pi )\cot({\tfrac {1}{28}}\pi )}}+\cos({\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}\varpi {\bigr )}} sl ( 3 14 ϖ ) = tanh { 1 2 arcoth [ 1 2 2 cos ( 1 14 π ) tan ( 5 28 π ) + sin ( 3 14 π ) ] } = cl ( 2 7 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}=\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {1}{14}}\pi )\tan({\tfrac {5}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {3}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}\varpi {\bigr )}} sl ( 5 14 ϖ ) = tanh { 1 2 arcoth [ 1 2 2 sin ( 1 7 π ) cot ( 3 28 π ) + sin ( 1 14 π ) ] } = cl ( 1 7 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}=\tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin({\tfrac {1}{7}}\pi )\cot({\tfrac {3}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {1}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}\varpi {\bigr )}}
Reihenentwicklungen
Produktreihen nach Whittaker und Watson Folgende Produktreihen für die lemniskatischen Funktionen konvergieren schnell:
sl ( x ) = 2 exp ( − 1 4 π ) sin ( π x / ϖ ) ∏ k = 1 ∞ 1 − 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp ( − 2 k π ) + exp ( − 4 k π ) 1 + 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp [ − ( 2 k − 1 ) π ] + exp [ − ( 4 k − 2 ) π ] {\displaystyle \operatorname {sl} (x)=2\exp \left(-{\tfrac {1}{4}}\pi \right)\sin(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}} cl ( x ) = 2 exp ( − 1 4 π ) cos ( π x / ϖ ) ∏ k = 1 ∞ 1 + 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp ( − 2 k π ) + exp ( − 4 k π ) 1 − 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp [ − ( 2 k − 1 ) π ] + exp [ − ( 4 k − 2 ) π ] {\displaystyle \operatorname {cl} (x)=2\exp \left(-{\tfrac {1}{4}}\pi \right)\cos(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}} Auf den Forschungsresultaten Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson [ 2] [ 3] [ 4]
Trigonometrisch Hyperbolische Summenreihen Diese Summen stellen schnell konvergierende Reihen zur numerischen Berechnung des lemniskatischen Sinus und Cosinus dar:[ 5]
sl ( x ) = 4 π ϖ sin ( π x ϖ ) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k sinh [ ( k + 1 / 2 ) π ] cosh [ ( 2 k + 1 ) π ] + cos ( 2 π x / ϖ ) , {\displaystyle \operatorname {sl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\sinh[(k+1/2)\pi ]}{\cosh[(2k+1)\pi ]+\cos \left(2\pi x/\varpi \right)}},} cl ( x ) = 4 π ϖ cos ( π x ϖ ) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k sinh [ ( k + 1 / 2 ) π ] cosh [ ( 2 k + 1 ) π ] − cos ( 2 π x / ϖ ) , {\displaystyle \operatorname {cl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\sinh[(k+1/2)\pi ]}{\cosh[(2k+1)\pi ]-\cos(2\pi x/\varpi )}},} Hierbei verläuft die Präzision der Annäherung mit endlichem oberen Index m {\displaystyle m} 10 − 3 m / 2 {\displaystyle 10^{-3m/2}}
Beide Reihen zeigen deutlich den Zusammenhang mit den Kreisfunktionen , indem die nach der lemniskatischen Form ausgestreckten Kreisfunktionen als Summanden in den genannten Differenzen gezeigt werden.
Basierend auf der Summendefinition der Jacobischen Zetafunktion können diese nicht alternierenden Summen aufgestellt werden:
tan { 1 2 arctan [ sl ( x ) ] } = 4 π ϖ sin ( π x / ϖ ) ∑ k = 1 ∞ cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] 2 − cos ( π x / ϖ ) 2 {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\pi x/\varpi )^{2}}}} tan { 1 2 arctan [ cl ( x ) ] } = 4 π ϖ cos ( π x / ϖ ) ∑ k = 1 ∞ cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] 2 − sin ( π x / ϖ ) 2 {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\pi x/\varpi )^{2}}}} Zusatzinformation:
Die Tangenshalbierungen von Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus führen zu den Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(4):
tan { 1 2 arctan [ sl ( x ) ] } = ( 2 − 1 ) sn [ 1 2 ( 2 + 1 ) x ; ( 2 − 1 ) 2 ] {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}=({\sqrt {2}}-1)\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]} tan { 1 2 arctan [ cl ( x ) ] } = ( 2 − 1 ) cd [ 1 2 ( 2 + 1 ) x ; ( 2 − 1 ) 2 ] {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}=({\sqrt {2}}-1)\operatorname {cd} \left[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]}
Rein Hyperbolische Summenreihen Weitere Reihendarstellungen über alternierende Summen des Secans hyperbolicus lauten so:
ϖ π cl ( ϖ x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k sech [ π ( k + x ) ] {\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}\operatorname {cl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {sech} [\pi (k+x)]} ϖ π sl ( ϖ x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k sech [ π ( k − 1 2 + x ) ] {\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}\operatorname {sl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {sech} [\pi (k-{\frac {1}{2}}+x)]}
Definition mit der Ramanujanschen Thetafunktion Die Ramanujansche Thetafunktion hat diese Definition:
ϑ R ( v ; w ) = ∑ n = − ∞ ∞ v n ( n + 1 ) / 2 w n ( n − 1 ) / 2 = ∑ n = − ∞ ∞ v △ ( n ) w △ ( n − 1 ) {\displaystyle \vartheta _{R}(v;w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{n(n+1)/2}\,w^{n(n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{\bigtriangleup (n)}\,w^{\bigtriangleup (n-1)}} Der korrespondierende Ausdruck aus einer Summe mit dem Index Eins lautet demnach so:
ϑ R ( v ; w ) = 1 + v + w + ∑ n = 1 ∞ ( v w ) △ ( n ) ( v n + 1 + w n + 1 ) {\displaystyle \vartheta _{R}(v;w)=1+v+w+\sum _{n=1}^{\infty }(vw)^{\bigtriangleup (n)}(v^{n+1}+w^{n+1})} So können darauf basierend folgende Identitäten hervorgebracht werden:
1 + tan { 1 8 π − 1 2 arctan [ s l ( x ) ] } = 2 exp ( − x G ) ϑ R [ exp ( x ÷ G − 1 2 π ) ; exp ( − x ÷ G − 3 2 π ) ] 2 ϑ R [ exp ( x ÷ G − 3 2 π ) ; exp ( − x ÷ G − 1 2 π ) ] 2 {\displaystyle 1+\tan {\biggl \{}{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\mathrm {sl} (x){\bigr ]}{\biggr \}}={\sqrt {2}}\exp {\bigl (}-{\frac {x}{G}}{\bigr )}\,{\frac {\vartheta _{R}{\bigl [}\exp(x\div G-{\tfrac {1}{2}}\pi );\exp(-x\div G-{\tfrac {3}{2}}\pi ){\bigr ]}^{2}}{\vartheta _{R}{\bigl [}\exp(x\div G-{\tfrac {3}{2}}\pi );\exp(-x\div G-{\tfrac {1}{2}}\pi ){\bigr ]}^{2}}}} 1 + tan { 1 8 π − 1 2 arctan [ c l ( x ) ] } = 2 exp ( x G − π 2 ) ϑ R [ exp ( − x ÷ G ) ; exp ( x ÷ G − 2 π ) ] 2 ϑ R [ exp ( − x ÷ G − π ) ; exp ( x ÷ G − π ) ] 2 {\displaystyle 1+\tan {\biggl \{}{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\mathrm {cl} (x){\bigr ]}{\biggr \}}={\sqrt {2}}\exp {\bigl (}{\frac {x}{G}}-{\frac {\pi }{2}}{\bigr )}\,{\frac {\vartheta _{R}{\bigl [}\exp(-x\div G);\exp(x\div G-2\pi ){\bigr ]}^{2}}{\vartheta _{R}{\bigl [}\exp(-x\div G-\pi );\exp(x\div G-\pi ){\bigr ]}^{2}}}} Noch viel schneller als die Reihen der vorherigen Abschnitte konvergieren somit folgende zwei Reihen für die lemniskatischen Funktionen, welche sich direkt aus den Formeln mit der Ramanujanschen Thetafunktion herleiten lassen:
1 + tan { 1 8 π − 1 2 arctan [ sl ( x ) ] } = 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k + 1 4 + x 2 ϖ ) 2 ] } 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k − 1 4 + x 2 ϖ ) 2 ] } − 2 {\displaystyle 1+\tan \left\{{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}={\sqrt {2}}\,\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{-2}} 1 + tan { 1 8 π − 1 2 arctan [ cl ( x ) ] } = 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k + 1 2 + x 2 ϖ ) 2 ] } 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k + x 2 ϖ ) 2 ] } − 2 {\displaystyle 1+\tan \left\{{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}={\sqrt {2}}\,\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{-2}}
Elliptische Lambdafunktion Diejenigen elliptischen Module, welche die Lambda-Stern-Funktionswerte von den Doppelten der ungeraden natürlichen Zahlen[ 6]
Muttermodul (Mm) Tochtermodul (Tm) Pythagoräisches Gegenstück vom Tm Pythagoräisches Gegenstück vom Mm= Tangentielles Gegenstück vom Tm
λ ∗ ( 3 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {3}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]} λ ∗ ( 6 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(6)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}} λ ∗ ( 1 6 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{6}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]} λ ∗ ( 2 3 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{3}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}} λ ∗ ( 5 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {5}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]} λ ∗ ( 10 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(10)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}} λ ∗ ( 1 10 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{10}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]} λ ∗ ( 2 5 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{5}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}} λ ∗ ( 11 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {11}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]} λ ∗ ( 22 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(22)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}} λ ∗ ( 1 22 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{22}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]} λ ∗ ( 2 11 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{11}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}} λ ∗ ( 17 2 ) = cl ′ { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {17}{2}})=\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}} λ ∗ ( 34 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(34)=\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}} λ ∗ ( 1 34 ) = sl ′ { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{34}})=\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}} λ ∗ ( 2 17 ) = cl { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{17}})=\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}} λ ∗ ( 29 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {29}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]} λ ∗ ( 58 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(58)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}} λ ∗ ( 1 58 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{58}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]} λ ∗ ( 2 29 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{29}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}} λ ∗ ( 41 2 ) = cl ′ { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {41}{2}})=\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}} λ ∗ ( 82 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(82)=\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}} λ ∗ ( 1 82 ) = sl ′ { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{82}})=\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}} λ ∗ ( 2 41 ) = cl { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{41}})=\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}}
Weitere Werte:
λ ∗ ( 14 ) = sl { 1 2 arcsl [ ( 8 2 + 11 ) − 1 / 2 ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(14)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[(8{\sqrt {2}}+11)^{-1/2}\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 26 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 33 ( 2 132 78 + 837 3 − 2 132 78 − 837 3 − 9 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(26)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{33}}\left(2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}+837}}-2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}-837}}-9\right)\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 38 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 627 19 ( 2 3300 114 + 27323 3 − 2 3300 114 − 27323 3 − 35 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(38)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{627}}{\sqrt {19}}\left(2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}+27323}}-2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}-27323}}-35\right)\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 46 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 104 2 + 147 ) − 1 / 2 ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(46)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{3}}(104{\sqrt {2}}+147)^{-1/2}\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 66 ) = sl { 1 2 arcsl [ ( 75 2 + 13 2 33 + 1 2 1842 33 + 10578 ) − 1 ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(66)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[\left({\tfrac {75}{2}}+{\tfrac {13}{2}}{\sqrt {33}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1842{\sqrt {33}}+10578}}\right)^{-1}\right]\right\}^{2}}
Siehe auch
Literatur E. D. Solomentsev: Lemniscate functions . In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org ). Whittaker, E. T. and Watson, G. N.: A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. p. 508
Weblinks
Einzelnachweise ↑ Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 1. August 2021 . ↑ Eric W. Weisstein : Jacobi Theta Functions .MathWorld ↑ http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf ↑ DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results. Abgerufen am 13. August 2022 . ↑ https://www.mdpi.com/2073-8994/12/6/1040 ↑ Eric W. Weisstein: Elliptic Lambda Function. Abgerufen am 20. Februar 2022 (englisch). 
