Sinus lemniscatus sl (schwarz) und Cosinus lemniscatus cl (blau), zum Vergleich der auf sl normierte Sinus (hellgrau) Die Länge s des Lemniskatenbogens vom Ursprung korreliert mit dem Abstand r des Kurvenpunktes zum Ursprung. Jeder Quadrant enthält einen Viertelbogen (der Länge ϖ 2 {\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}} ) der Lemniskate. Die Brennpunkte liegen hier bei ( ± 1 2 ∣ 0 ) {\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\mid 0\right)} . Der lemniskatische Sinus oder sinus lemniscatus (kurz sinlemn oder sl {\displaystyle \operatorname {sl} } ) ist eine spezielle, von dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Funktion . Der lemniskatische Sinus entspricht derjenigen Funktion für die Lemniskate , die der Sinus für den Kreis ist. Der lemniskatische Cosinus (kurz coslemn oder cl {\displaystyle \operatorname {cl} } ) leitet sich direkt von sl {\displaystyle \operatorname {sl} } ab. Beides sind die historisch ersten, heute so genannten elliptischen Funktionen . Nach der Definition durch Jacobi ist der Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei der elliptische Modul der lemniskatischen Funktionen.
Geschichte Der 19-jährige Gauß beschäftigte sich 1796 (in erst nach seinem Tod veröffentlichten Notizen) mit der Frage, wie man aus einer gegebenen Bogenlänge s {\displaystyle s} einer Lemniskate den Abstand r ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle r\in (-1,1)} des entsprechenden Punktes auf der Kurve vom Koordinatenursprung r = 0 {\displaystyle r=0} berechnen kann. Mathematisch führt das auf die Umkehrfunktion r = r ( s ) {\displaystyle r=r(s)} des elliptischen Integrals
s ( r ) = ∫ 0 r d ρ 1 − ρ 4 . {\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}.} Beweis:
Für den ersten und dritten Quadrant kann die Lemniskate von Bernoulli auf folgende Weise parametrisiert werden: x und y als Koordinaten eines Punktes auf der Kurve im Abstand r vom Ursprung (Pythagoras) erfüllen die Lemniskatengleichung. Aus diesen zwei Gleichungen ergeben sich
x ( r ) = r 1 + r 2 / 2 {\displaystyle x(r)=r{\sqrt {1+r^{2}}}/{\sqrt {2}}} und y ( r ) = r 1 − r 2 / 2 {\displaystyle y(r)=r{\sqrt {1-r^{2}}}/{\sqrt {2}}} Für die Berechnung der vom Ursprung ausgehenden Kurvenlänge s wird der Pythagoras der ersten Ableitungen von x und y gebildet und dieser integriert:
s ( r ) = ∫ 0 r [ d d r x ( r ) ( r = ρ ) ] 2 + [ d d r y ( r ) ( r = ρ ) ] 2 d ρ = {\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}x(r)(r=\rho )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}y(r)(r=\rho )\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =} = ∫ 0 r [ d d ρ ρ 1 + ρ 2 / 2 ] 2 + [ d d ρ ρ 1 − ρ 2 / 2 ] 2 d ρ = {\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1+\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =} = ∫ 0 r ( 1 + 2 ρ 2 ) 2 2 ( 1 + ρ 2 ) + ( 1 − 2 ρ 2 ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) d ρ = ∫ 0 r 1 1 − ρ 4 d ρ {\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2\rho ^{2})^{2}}{2(1+\rho ^{2})}}+{\frac {(1-2\rho ^{2})^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}\mathrm {d} \rho =\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\mathrm {d} \rho } Gauß nannte diese Umkehrfunktion Sinus lemniscatus und bezeichnete sie mit sl {\displaystyle \operatorname {sl} } , also
r = sl s {\displaystyle r=\operatorname {sl} \,s} Entsprechend definierte er den Cosinus lemniscatus cl s = sl ( ϖ 2 − s ) {\displaystyle \operatorname {cl} \,s=\operatorname {sl} \,({\tfrac {\varpi }{2}}-s)} , wobei ϖ {\displaystyle \varpi } die Länge des Halbbogens der Lemniskate ist, also
ϖ = 2 ∫ 0 1 d ρ 1 − ρ 4 ≈ 2,622 05 75542 92119 81046 48395 89891 … {\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\approx 2{,}62205\ 75542\ 92119\ 81046\,48395\ 89891\ldots } (Folge A062539 in OEIS )Gauß ließ sich bei diesen Bezeichnungen von der Analogie zu den Kreisfunktionen leiten, denn der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals
s ( r ) = ∫ 0 r d ρ 1 − ρ 2 , und 2 ∫ 0 1 d ρ 1 − ρ 2 = π . {\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}},\qquad {\mbox{und}}\qquad 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}=\pi .} also r = sin s {\displaystyle r=\sin s} und cos s = sin ( π 2 − s ) {\displaystyle \cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)} . Seine weitere entscheidende Idee war es nun, die Funktionen sl {\displaystyle \operatorname {sl} } und cl {\displaystyle \operatorname {cl} } nicht nur für reelle Zahlen zu definieren, sondern sie ins Komplexe fortzusetzen. Er bewies dann die Periodizitätsrelationen
sl ( s + 2 ϖ ) = sl s , sl ( s + 2 i ϖ ) = sl s . {\displaystyle \operatorname {sl} \,(s+2\varpi )=\operatorname {sl} \,s,\qquad \operatorname {sl} \,(s+2\mathrm {i} \varpi )=\operatorname {sl} \,s.} Im Gegensatz zum Sinus hat also der lemniskatische Sinus sl {\displaystyle \operatorname {sl} } zwei Perioden 2 ϖ {\displaystyle 2\varpi } und 2 i ϖ {\displaystyle 2\mathrm {i} \varpi } , ebenso die Funktion cl {\displaystyle \operatorname {cl} } . Die lemniskatischen Funktionen sind also elliptisch . Carl Gustav Jacobi führte um 1830 die jacobischen elliptischen Funktionen ein und verallgemeinerte damit die beiden lemniskatischen Funktionen. Diese lassen sich auf folgende Weise durch die Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(1) = 1/sqrt(2) ausdrücken:
sl ( s ) = sd ( 2 s ; 1 / 2 ) / 2 {\displaystyle \operatorname {sl} \,(s)=\operatorname {sd} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})/{\sqrt {2}}} und cl ( s ) = cn ( 2 s ; 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {cl} \,(s)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})} Somit sind der lemniskatische Sinus und der lemniskatische Cosinus auch über die Thetafunktionen auf folgende Weise[1] definierbar:
sl ( s ) = ϑ 10 ( π / 2 − π s / ϖ ; e − π ) ϑ 01 ( π / 2 − π s / ϖ ; e − π ) {\displaystyle \operatorname {sl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}} und cl ( s ) = ϑ 10 ( π s / ϖ ; e − π ) ϑ 01 ( π s / ϖ ; e − π ) {\displaystyle \operatorname {cl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}} Algebraische Beziehungen Folgende algebraische Beziehung gilt für die lemniskatischen Funktionen:
[ 1 + sl ( x ) 2 ] ⋅ [ 1 + cl ( x ) 2 ] = 2 {\displaystyle [1+\operatorname {sl} (x)^{2}]\cdot [1+\operatorname {cl} (x)^{2}]=2} Die Additionstheoreme für die lemniskatischen Funktionen lauten wie folgt:
sl ( a + b ) = sl ( a ) ⋅ cl ( b ) + cl ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 − sl ( a ) ⋅ cl ( a ) ⋅ sl ( b ) ⋅ cl ( b ) {\displaystyle \operatorname {sl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)+\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1-\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)\cdot \operatorname {cl} (b)}}} cl ( a + b ) = cl ( a ) ⋅ cl ( b ) − sl ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 + sl ( a ) ⋅ cl ( a ) ⋅ sl ( b ) ⋅ cl ( b ) {\displaystyle \operatorname {cl} (a+b)={\frac {\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)-\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)\cdot \operatorname {cl} (b)}}} Alternative Darstellungen für die Additionstheoreme:
sl ( a + b ) = sl ( a ) ⋅ sl ′ ( b ) + sl ′ ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 + sl ( a ) 2 ⋅ sl ( b ) 2 {\displaystyle \operatorname {sl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} '(b)+\operatorname {sl} '(a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)^{2}\cdot \operatorname {sl} (b)^{2}}}} cl ( a + b ) = sl ′ ( a ) ⋅ sl ′ ( b ) − 2 ⋅ sl ( a ) ⋅ sl ( b ) 1 + sl ( a ) 2 + sl ( b ) 2 − sl ( a ) 2 ⋅ sl ( b ) 2 {\displaystyle \operatorname {cl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} '(a)\cdot \operatorname {sl} '(b)-2\cdot \operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)^{2}+\operatorname {sl} (b)^{2}-\operatorname {sl} (a)^{2}\cdot \operatorname {sl} (b)^{2}}}} Dabei gilt die Beziehung sl' = cl*(1+sl^2).
Darstellung über den Arkustangens:
arctan [ sl ( a + b ) ] = arctan [ sl ( a ) ⋅ cl ( b ) ] + arctan [ cl ( a ) ⋅ sl ( b ) ] {\displaystyle \arctan[\operatorname {sl} (a+b)]=\arctan[\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)]+\arctan[\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)]} arctan [ cl ( a + b ) ] = arctan [ cl ( a ) ⋅ cl ( b ) ] − arctan [ sl ( a ) ⋅ sl ( b ) ] {\displaystyle \arctan[\operatorname {cl} (a+b)]=\arctan[\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)]-\arctan[\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)]} Für die Verdopplung gelten diese Formeln:
sl ( 2 x ) = 2 sl ( x ) cl ( x ) 1 + sl ( x ) 2 1 + sl ( x ) 4 {\displaystyle \operatorname {sl} (2x)=2\,\operatorname {sl} (x)\operatorname {cl} (x){\frac {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}{1+\operatorname {sl} (x)^{4}}}} cl ( 2 x ) = − 1 + 2 cl ( x ) 2 + cl ( x ) 4 1 + 2 cl ( x ) 2 − cl ( x ) 4 {\displaystyle \operatorname {cl} (2x)={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} (x)^{2}+\operatorname {cl} (x)^{4}}{1+2\,\operatorname {cl} (x)^{2}-\operatorname {cl} (x)^{4}}}} Dementsprechend gelten folgende Formeln für die Halbierung:
sl ( x 2 ) 2 = 1 − cl ( x ) 1 + sl ( x ) 2 1 + sl ( x ) 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1-\operatorname {cl} (x){\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}+1}}} cl ( x 2 ) 2 = 1 + cl ( x ) 1 + sl ( x ) 2 1 + sl ( x ) 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {cl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1+\operatorname {cl} (x){\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}+1}}} Für die Verdreifachung gilt Folgendes:
sl ( 3 x ) = 3 sl ( x ) − 6 sl ( x ) 5 − sl ( x ) 9 1 + 6 sl ( x ) 4 − 3 sl ( x ) 8 {\displaystyle \operatorname {sl} (3x)={\frac {3\,\operatorname {sl} (x)-6\,\operatorname {sl} (x)^{5}-\operatorname {sl} (x)^{9}}{1+6\,\operatorname {sl} (x)^{4}-3\,\operatorname {sl} (x)^{8}}}} Diese alternativen Darstellungen ermöglichen eine Umkehrung durch Lösen kubischer Gleichungen:
sl ( 3 x ) = 27 4 ( 3 + 1 ) y − 2 y 3 2 + 27 4 ( 3 + 1 ) y 2 [ y = 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) + 2 sl ( x ) 3 2 − 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y-{\sqrt {2}}y^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y^{2}}}\left[y={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)+{\sqrt {2}}\operatorname {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)^{2}}}\right]} sl ( 3 x ) = 27 4 ( 3 + 1 ) z + 2 z 3 2 − 27 4 ( 3 + 1 ) z 2 [ z = 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) − 2 sl ( x ) 3 2 + 3 4 ( 3 − 1 ) sl ( x ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z+{\sqrt {2}}z^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z^{2}}}\left[z={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)-{\sqrt {2}}\operatorname {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)^{2}}}\right]} Der Cosinus Lemniscatus ergibt sich als negatives Analogon zum Sinus Lemniscatus:
cl ( 3 x ) = − 3 cl ( x ) + 6 cl ( x ) 5 + cl ( x ) 9 1 + 6 cl ( x ) 4 − 3 cl ( x ) 8 {\displaystyle \operatorname {cl} (3x)={\frac {-3\,\operatorname {cl} (x)+6\,\operatorname {cl} (x)^{5}+\operatorname {cl} (x)^{9}}{1+6\,\operatorname {cl} (x)^{4}-3\,\operatorname {cl} (x)^{8}}}} Ableitungen Die lemniskatischen Funktionen haben folgende Ableitungen:
d d x sl ( x ) = cl ( x ) ⋅ [ 1 + sl ( x ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sl} (x)=\operatorname {cl} (x)\cdot [1+\operatorname {sl} (x)^{2}]} d d x cl ( x ) = − sl ( x ) ⋅ [ 1 + cl ( x ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cl} (x)=-\operatorname {sl} (x)\cdot [1+\operatorname {cl} (x)^{2}]} Daraus folgt die Tatsache, dass die zweite Ableitung das negative doppelte vom Kubus ist.
d d x d d x sl ( x ) = − 2 ⋅ sl ( x ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sl} (x)=-2\cdot \operatorname {sl} (x)^{3}} d d x d d x cl ( x ) = − 2 ⋅ cl ( x ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cl} (x)=-2\cdot \operatorname {cl} (x)^{3}} Über die Formeln der Ableitungen lassen sich ebenso die Stammfunktionen von Sinus Lemniscatus und Cosinus lemniscatus ermitteln.
cl ( x ) = d d x arctan [ sl ( x ) ] {\displaystyle \operatorname {cl} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\operatorname {sl} (x)]} sl ( x ) = − d d x arctan [ cl ( x ) ] {\displaystyle \operatorname {sl} (x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\operatorname {cl} (x)]} Spezielle Werte Einzelne Funktionswerte für die lemniskatischen Funktionen:
sl ( 0 ) = 0 = cl ( ϖ 2 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left(0\right)=0=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)} sl ( ϖ 2 ) = 1 = cl ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)=1=\operatorname {cl} \left(0\right)} sl ( ϖ 4 ) = 2 − 1 = cl ( ϖ 4 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)} sl ( ϖ 6 ) = 1 2 ⋅ ( 3 + 1 − 12 4 ) = cl ( ϖ 3 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)} sl ( ϖ 3 ) = 3 8 2 4 ⋅ 3 − 1 = cl ( ϖ 6 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)={\frac {\sqrt[{8}]{3}}{\sqrt[{4}]{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)} sl ( ϖ 8 ) = ( 2 4 − 1 ) ⋅ ( 2 + 1 − 2 + 2 ) = cl ( 3 ⋅ ϖ 8 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\operatorname {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)} sl ( 3 ⋅ ϖ 8 ) = ( 2 4 − 1 ) ⋅ ( 2 + 1 + 2 + 2 ) = cl ( ϖ 8 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)} sl ( ϖ 5 ) = 1 2 ⋅ 2 4 ⋅ ( 5 − 1 ) ⋅ 20 4 − 5 − 1 = cl ( 3 ⋅ ϖ 10 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\operatorname {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)} sl ( 2 ⋅ ϖ 5 ) = 1 2 ⋅ 2 4 ⋅ ( 5 − 1 ) ⋅ 20 4 + 5 − 1 = cl ( ϖ 10 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)} sl ( ϖ 10 ) = 1 2 ⋅ ( 5 4 − 1 ) ⋅ ( 5 + 2 − 1 ) = cl ( 2 ⋅ ϖ 5 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)} sl ( 3 ⋅ ϖ 10 ) = 1 2 ⋅ ( 5 4 − 1 ) ⋅ ( 5 + 2 + 1 ) = cl ( ϖ 5 ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)} Weitere lemniskatische Funktionswerte in trigonometrischer Darstellung:
sl ( 1 12 ϖ ) = 1 2 8 4 [ sin ( 5 24 π ) − 3 4 sin ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 − 1 ) = cl ( 5 12 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\tfrac {1}{12}}\varpi \right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}-1\right)=\operatorname {cl} \left({\tfrac {5}{12}}\varpi \right)} sl ( 5 12 ϖ ) = 1 2 8 4 [ sin ( 5 24 π ) − 3 4 sin ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 + 1 ) = cl ( 1 12 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\tfrac {5}{12}}\varpi \right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}+1\right)=\operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{12}}\varpi \right)} sl ( 1 14 ϖ ) = 1 2 [ 2 cos ( 3 14 π ) cot ( 1 28 π ) + 2 cos ( 1 7 π ) ] − 1 2 [ 2 cos ( 3 14 π ) cot ( 1 28 π ) + 2 cos ( 1 7 π ) ] 2 − 4 = cl ( 3 7 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\tfrac {1}{14}}\varpi \right)={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2\cos \left({\tfrac {3}{14}}\pi \right)\cot \left({\tfrac {1}{28}}\pi \right)}}+2\cos \left({\tfrac {1}{7}}\pi \right)\right]-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left[{\sqrt {2\cos \left({\tfrac {3}{14}}\pi \right)\cot \left({\tfrac {1}{28}}\pi \right)}}+2\cos \left({\tfrac {1}{7}}\pi \right)\right]^{2}-4}}=\operatorname {cl} \left({\tfrac {3}{7}}\varpi \right)} sl ( 3 14 ϖ ) = 1 2 [ 2 cos ( 1 14 π ) tan ( 5 28 π ) + 2 sin ( 3 14 π ) ] − 1 2 [ 2 cos ( 1 14 π ) tan ( 5 28 π ) + 2 sin ( 3 14 π ) ] 2 − 4 = cl ( 2 7 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\tfrac {3}{14}}\varpi \right)={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2\cos \left({\tfrac {1}{14}}\pi \right)\tan \left({\tfrac {5}{28}}\pi \right)}}+2\sin \left({\tfrac {3}{14}}\pi \right)\right]-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left[{\sqrt {2\cos \left({\tfrac {1}{14}}\pi \right)\tan \left({\tfrac {5}{28}}\pi \right)}}+2\sin \left({\tfrac {3}{14}}\pi \right)\right]^{2}-4}}=\operatorname {cl} \left({\tfrac {2}{7}}\varpi \right)} sl ( 5 14 ϖ ) = 1 2 [ 2 sin ( 1 7 π ) cot ( 3 28 π ) + 2 sin ( 1 14 π ) ] − 1 2 [ 2 sin ( 1 7 π ) cot ( 3 28 π ) + 2 sin ( 1 14 π ) ] 2 − 4 = cl ( 1 7 ϖ ) {\displaystyle \operatorname {sl} \left({\tfrac {5}{14}}\varpi \right)={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2\sin \left({\tfrac {1}{7}}\pi \right)\cot \left({\tfrac {3}{28}}\pi \right)}}+2\sin \left({\tfrac {1}{14}}\pi \right)\right]-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left[{\sqrt {2\sin \left({\tfrac {1}{7}}\pi \right)\cot \left({\tfrac {3}{28}}\pi \right)}}+2\sin \left({\tfrac {1}{14}}\pi \right)\right]^{2}-4}}=\operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{7}}\varpi \right)} Reihenentwicklungen Schnell konvergierende Reihen zur numerischen Berechnung des lemniskatischen Sinus und Cosinus sind:[2]
sl ( x ) = 4 π ϖ sin ( π x ϖ ) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k sinh [ ( k + 1 / 2 ) π ] cosh [ ( 2 k + 1 ) π ] + cos ( 2 π x / ϖ ) , {\displaystyle \operatorname {sl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\sinh[(k+1/2)\pi ]}{\cosh[(2k+1)\pi ]+\cos \left(2\pi x/\varpi \right)}},} sowie
cl ( x ) = 4 π ϖ cos ( π x ϖ ) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k sinh [ ( k + 1 / 2 ) π ] cosh [ ( 2 k + 1 ) π ] − cos ( 2 π x / ϖ ) , {\displaystyle \operatorname {cl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\sinh[(k+1/2)\pi ]}{\cosh[(2k+1)\pi ]-\cos(2\pi x/\varpi )}},} wobei die Präzision der Annäherung mit endlichem oberen Index m {\displaystyle m} wie 10 − 3 m / 2 {\displaystyle 10^{-3m/2}} verläuft. Beide Reihen zeigen deutlich den Zusammenhang mit den Kreisfunktionen .
Weitere Reihendarstellungen über alternierende Summen des Secans hyperbolicus lauten:
ϖ π cl ( ϖ x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k sech [ π ( k + x ) ] {\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}\operatorname {cl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {sech} [\pi (k+x)]} und
ϖ π sl ( ϖ x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k sech [ π ( k − 1 2 + x ) ] {\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}\operatorname {sl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {sech} [\pi (k-{\frac {1}{2}}+x)]} Basierend auf der Summendefinition der Jacobischen Zetafunktion können diese nicht alternierenden Summen aufgestellt werden:
tan { 1 2 arctan [ sl ( x ) ] } = 4 π ϖ sin ( π x / ϖ ) ∑ k = 1 ∞ cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] 2 − cos ( π x / ϖ ) 2 {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\pi x/\varpi )^{2}}}} tan { 1 2 arctan [ cl ( x ) ] } = 4 π ϖ cos ( π x / ϖ ) ∑ k = 1 ∞ cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] cosh [ ( 2 k − 1 ) π ] 2 − sin ( π x / ϖ ) 2 {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\pi x/\varpi )^{2}}}} Zusatzinformation:
Die Tangenshalbierungen von Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus führen zu den Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(4):
tan { 1 2 arctan [ sl ( x ) ] } = ( 2 − 1 ) sn [ 1 2 ( 2 + 1 ) x ; ( 2 − 1 ) 2 ] {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}=({\sqrt {2}}-1)\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]} tan { 1 2 arctan [ cl ( x ) ] } = ( 2 − 1 ) cd [ 1 2 ( 2 + 1 ) x ; ( 2 − 1 ) 2 ] {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}=({\sqrt {2}}-1)\operatorname {cd} \left[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]} Noch viel schneller konvergieren folgende zwei Reihen für die lemniskatischen Funktionen:
tan { 1 8 π − 1 2 arctan [ sl ( x ) ] } = 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k + 1 4 + x 2 ϖ ) 2 ] } 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k − 1 4 + x 2 ϖ ) 2 ] } − 2 − 1 {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}={\sqrt {2}}\,\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{-2}-1} tan { 1 8 π − 1 2 arctan [ cl ( x ) ] } = 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k + 1 2 + x 2 ϖ ) 2 ] } 2 { ∑ k = − ∞ ∞ exp [ − π ( k + x 2 ϖ ) 2 ] } − 2 − 1 {\displaystyle \tan \left\{{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}={\sqrt {2}}\,\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{-2}-1} Folgende Produktreihen für die lemniskatischen Funktionen konvergieren schnell:
sl ( x ) = 2 exp ( − 1 4 π ) sin ( π x / ϖ ) ∏ k = 1 ∞ 1 − 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp ( − 2 k π ) + exp ( − 4 k π ) 1 + 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp [ − ( 2 k − 1 ) π ] + exp [ − ( 4 k − 2 ) π ] {\displaystyle \operatorname {sl} (x)=2\exp \left(-{\tfrac {1}{4}}\pi \right)\sin(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}} cl ( x ) = 2 exp ( − 1 4 π ) cos ( π x / ϖ ) ∏ k = 1 ∞ 1 + 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp ( − 2 k π ) + exp ( − 4 k π ) 1 − 2 cos ( 2 π x / ϖ ) exp [ − ( 2 k − 1 ) π ] + exp [ − ( 4 k − 2 ) π ] {\displaystyle \operatorname {cl} (x)=2\exp \left(-{\tfrac {1}{4}}\pi \right)\cos(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}} Elliptische Lambdafunktion Diejenigen elliptischen Module, welche die Lambda-Stern-Funktionswerte von den Doppelten der ungeraden natürlichen Zahlen[3] sind, können vereinfacht mit dem Halbierungstheorem als Sinus-Lemniscatus-Quadrat dargestellt werden:
Muttermodul (Mm) Tochtermodul (Tm) Pythagoräisches Gegenstück vom Tm Pythagoräisches Gegenstück vom Mm= Tangentielles Gegenstück vom Tm
λ ∗ ( 3 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {3}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]} λ ∗ ( 6 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(6)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}} λ ∗ ( 1 6 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{6}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]} λ ∗ ( 2 3 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 3 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{3}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}} λ ∗ ( 5 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {5}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]} λ ∗ ( 10 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(10)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}} λ ∗ ( 1 10 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{10}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]} λ ∗ ( 2 5 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 3 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{5}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}} λ ∗ ( 11 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {11}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]} λ ∗ ( 22 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(22)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}} λ ∗ ( 1 22 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{22}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]} λ ∗ ( 2 11 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 33 11 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{11}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}} λ ∗ ( 17 2 ) = cl ′ { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {17}{2}})=\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}} λ ∗ ( 34 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(34)=\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}} λ ∗ ( 1 34 ) = sl ′ { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{34}})=\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}} λ ∗ ( 2 17 ) = cl { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 17 − 4 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{17}})=\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}} λ ∗ ( 29 2 ) = cl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {29}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]} λ ∗ ( 58 ) = sl [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(58)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}} λ ∗ ( 1 58 ) = sl ′ [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{58}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]} λ ∗ ( 2 29 ) = cl [ 1 2 arcsl ( 1 99 ) ] 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{29}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}} λ ∗ ( 41 2 ) = cl ′ { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {41}{2}})=\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}} λ ∗ ( 82 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(82)=\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}} λ ∗ ( 1 82 ) = sl ′ { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{82}})=\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}} λ ∗ ( 2 41 ) = cl { 1 2 arcsl [ 1 69 ( 8 41 − 51 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{41}})=\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}}
Weitere Werte:
λ ∗ ( 14 ) = sl { 1 2 arcsl [ ( 8 2 + 11 ) − 1 / 2 ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(14)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[(8{\sqrt {2}}+11)^{-1/2}\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 26 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 33 ( 2 132 78 + 837 3 − 2 132 78 − 837 3 − 9 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(26)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{33}}\left(2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}+837}}-2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}-837}}-9\right)\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 38 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 627 19 ( 2 3300 114 + 27323 3 − 2 3300 114 − 27323 3 − 35 ) ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(38)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{627}}{\sqrt {19}}\left(2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}+27323}}-2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}-27323}}-35\right)\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 46 ) = sl { 1 2 arcsl [ 1 3 ( 104 2 + 147 ) − 1 / 2 ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(46)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{3}}(104{\sqrt {2}}+147)^{-1/2}\right]\right\}^{2}} λ ∗ ( 66 ) = sl { 1 2 arcsl [ ( 75 2 + 13 2 33 + 1 2 1842 33 + 10578 ) − 1 ] } 2 {\displaystyle \lambda ^{*}(66)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[\left({\tfrac {75}{2}}+{\tfrac {13}{2}}{\sqrt {33}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1842{\sqrt {33}}+10578}}\right)^{-1}\right]\right\}^{2}} Siehe auch Literatur Whittaker, E. T. and Watson, G. N.: A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. p. 508 E. D. Solomentsev: Lemniscate functions . In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org ). Weblinks Einzelnachweise ↑ Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 1. August 2021 . ↑ https://www.mdpi.com/2073-8994/12/6/1040 ↑ Eric W. Weisstein: Elliptic Lambda Function. Abgerufen am 20. Februar 2022 (englisch).