Lemma von Yoneda

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation

Es sei ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$ die Morphismen zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ eine Menge und somit ein Objekt in ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ bilden. Für jedes Objekt ${\displaystyle X}$ der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ hat man den partiellen Hom-Funktor ${\displaystyle H^{X}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$, der für Objekte ${\displaystyle Y\in {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}})}$ und Morphismen ${\displaystyle (f\colon Y\rightarrow Z)\in {\mbox{Mor}}({\mathcal {C}})}$ wie folgt definiert ist:

• ${\displaystyle H^{X}(Y):={\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,Y)}$, wobei ${\displaystyle {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,Y)}$ eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für ${\displaystyle {\mbox{Mor}}_{\mathcal {C}}(X,Y)}$ ist.
• ${\displaystyle H^{X}(f)\colon H^{X}(Y)\rightarrow H^{X}(Z),\,g\mapsto f\circ g}$.

Sei nun ${\displaystyle T}$ ein weiterer Funktor von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ nach ${\displaystyle \mathbf {Set} }$. Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$ und ${\displaystyle T}$ bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Aussage

Sind ${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mbox{Set}}}$ ein Funktor und ${\displaystyle X}$ ein Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, so ist ${\displaystyle \eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$ eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow T}$ in die Menge ${\displaystyle T(X)}$.

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow T}$ definitionsgemäß jedem Objekt ${\displaystyle Y}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ einen Morphismus ${\displaystyle \eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y)}$ zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus ${\displaystyle \eta _{X}\colon H^{X}(X)\rightarrow T(X)}$ in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich ${\displaystyle \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$ wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus ${\displaystyle T(X)}$. Daher ist die Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\colon \eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$ wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow T}$ eine natürliche Transformation, ${\displaystyle Y}$ ein Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle f\in H^{X}(Y)}$, das heißt ${\displaystyle f}$ ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-Morphismus ${\displaystyle X\rightarrow Y}$, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

Daraus ergibt sich ${\displaystyle \eta _{Y}(f)=\eta _{Y}(f\circ {\mbox{id}}_{X})=(\eta _{Y}\circ H^{X}(f))({\mbox{id}}_{X})=(T(f)\circ \eta _{X})({\mbox{id}}_{X})=T(f)(\eta _{X}({\mbox{id}}_{X}))}$.

Daher ist ${\displaystyle \eta _{Y}}$ durch ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$ bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich ${\displaystyle w\in T(X)}$, so definiere man für jedes Objekt ${\displaystyle Y}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ die Abbildung ${\displaystyle \eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y)}$ durch ${\displaystyle \eta _{Y}(f)\,:=\,T(f)(w)}$. Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation ${\displaystyle \eta }$ von ${\displaystyle H^{X}}$ nach ${\displaystyle T}$ definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf ${\displaystyle w}$ abgebildet wird.

Bemerkungen

• Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$ und ${\displaystyle T}$ eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen ${\displaystyle H^{X}}$ und ${\displaystyle T}$ steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich ${\displaystyle T(X)}$, und ist daher selbst eine.
• Abbildungen der oben vorgestellten Art ${\displaystyle \eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y),\eta _{Y}(f)\,:=\,T(f)(w)}$ führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
• Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor ${\displaystyle {\mbox{Ab}}\rightarrow {\mbox{Set}}}$ hinterzuschalten.

Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$ die Kategorie der Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$ mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$ und ${\displaystyle H^{Y}}$ nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor ${\displaystyle H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$ durch folgende Daten:

• ${\displaystyle H^{*}(X):=H^{X}}$, die Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$ sind die Objekte in ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$.
• Für einen Morphismus ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ sei ${\displaystyle H^{*}(f)\colon H^{X}\rightarrow H^{Y}}$ definiert durch ${\displaystyle H^{*}(f)_{Z}\colon H^{X}(Z)\rightarrow H^{Y}(Z),\,g\mapsto g\circ f}$, wobei ${\displaystyle Z\in {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}})}$. Dann ist ${\displaystyle H^{*}(f)}$ eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$.

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor ${\displaystyle H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$ definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst ${\displaystyle f}$ „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

• Yoneda-Einbettung: Der Funktor ${\displaystyle H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$ ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$, so erhält man eine volltreue Einbettung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow [{\mathcal {C}}^{op},{\mbox{Set}}]}$.

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

${\displaystyle H_{X,Y}^{*}\colon {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)\rightarrow {\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y),\,f\mapsto H^{*}(f)}$

bijektiv sind. Für ${\displaystyle \eta \in {\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y)}$, das heißt für eine natürliche Transformation ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow H^{Y}}$, ist ${\displaystyle {\mathcal {Y}}(\eta )\in H^{Y}(X)={\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(Y,X)={\mbox{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)}$, das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{X,Y}:{\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y)\rightarrow {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y),\eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$.

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle ${\displaystyle f\in {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)}$ folgendes gilt: ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{X,Y}H_{X,Y}^{*}(f)={\mathcal {Y}}_{X,Y}(H^{*}(f))=H^{*}(f)_{X}({\mbox{id}}_{X})={\mbox{id}}_{X}\circ f=f}$,

ist ${\displaystyle H_{X,Y}^{*}={\mathcal {Y}}_{X,Y}^{-1}}$ und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist ${\displaystyle H^{*}}$ volltreu.

Um einzusehen, dass ${\displaystyle H^{*}}$ sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei verschiedene Objekte aus ${\displaystyle {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}}^{op})}$, so gilt ${\displaystyle {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,X)\cap {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(Y,X)=\emptyset }$, weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt ${\displaystyle H^{X}\not =H^{Y}}$, das heißt ${\displaystyle H^{*}(X)\not =H^{*}(Y)}$. Daher ist ${\displaystyle H^{*}}$ auch eine Einbettung.

Literatur

• Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15–16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).