Lemma von Rasiowa-Sikorski

Das Lemma von Rasiowa-Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es sichert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage

Sei ${\displaystyle \langle P,\leq _{P}\rangle }$ eine Quasiordnung, und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von ${\displaystyle P}$. Dann gibt es für jedes ${\displaystyle p_{0}\in P}$ einen Filter ${\displaystyle F\subseteq P}$ mit den Eigenschaften:

• ${\displaystyle p_{0}\in F}$
• ${\displaystyle D\cap F\neq \emptyset }$, für alle ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$.

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-generisch genannt.

Beweis

Sei ${\displaystyle D_{1},D_{2},\dots }$ eine Aufzählung der Mengen in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ und definiere für ${\displaystyle n\geq 0}$ rekursiv:

${\displaystyle p_{n+1}:=}$"ein Element ${\displaystyle p\in D_{n+1}}$ mit ${\displaystyle p\leq p_{n}}$".

Ein solches ${\displaystyle p_{n+1}}$ existiert aufgrund der Dichtheit von ${\displaystyle D_{n+1}}$. Dann ist die Menge ${\displaystyle F:=\{p\in P\mid \exists n\in \mathbb {N} :p_{n}\leq p\}}$ ein derartiger Filter.

Erweiterungen

Es kann gezeigt werden, dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird, wenn ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Kardinalität ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen ${\displaystyle \kappa }$ mit ${\displaystyle \aleph _{0}<\kappa <2^{\aleph _{0}}}$ gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur

• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.