Lemma von Bramble-Hilbert

In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion ${\displaystyle u}$ durch ein Polynom der maximalen Ordnung ${\displaystyle m-1}$ mit Hilfe der Ableitungen ${\displaystyle m}$-ter Ordnung von ${\displaystyle u}$ ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von ${\displaystyle u}$ werden durch ${\displaystyle L^{p}}$-Normen auf einem beschränkten Gebiet im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von ${\displaystyle u}$ bei linearer Interpolation von ${\displaystyle u}$. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von ${\displaystyle u}$ können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten ${\displaystyle L^{p}}$-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und ${\displaystyle C^{1}}$-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur ${\displaystyle m}$-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens ${\displaystyle m-1}$ erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ein beschränktes Gebiet im ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Lipschitz-Rand und Durchmesser ${\displaystyle \textstyle d}$. Weiter sei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ beliebig und ${\displaystyle k\in \{0,\ldots ,m\}}$.

Auf dem Sobolew-Raum ${\displaystyle W_{p}^{k}(\Omega )}$, verwendet man die Halbnorm

${\displaystyle |u|_{W_{p}^{k}(\Omega )}:=\left(\sum \limits _{|\alpha |=k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem ${\displaystyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )}$ ein Polynom ${\displaystyle v}$ existiert, dessen Grad höchstens ${\displaystyle m-1}$ beträgt, so dass die Ungleichung

${\displaystyle |u-v|_{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}|u|_{W_{p}^{m}(\Omega )}}$

mit einer Konstanten ${\displaystyle C=C(m,\Omega )}$ erfüllt ist.

Weblinks

• Raytcho D. Lazarov: Bramble-Hilbert lemma. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).