Legendre-Symbol

Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt.

Definition und Notation

Das Legendre-Symbol gibt an, ob die Zahl ${\displaystyle a}$ quadratischer Rest modulo ${\displaystyle p}$ oder quadratischer Nichtrest modulo ${\displaystyle p}$ ist. Dabei ist ${\displaystyle a}$ eine ganze Zahl und ${\displaystyle p}$ eine ungerade Primzahl.

Es gilt

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}},\\-1,&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Nichtrest modulo }}p{\mbox{ ist}},\\0,&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ ein Vielfaches von }}p{\mbox{ ist}}.\end{cases}}}$

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialisierung des Jacobi-Symbols, das wiederum eine Spezialisierung des Kronecker-Symbols ist. Alle drei Symbole benutzen daher unmissverständlich dieselbe Schreibweise. Weitere Notationsvarianten für das Legendre-Symbol sind ${\displaystyle (a/p)}$ und ${\displaystyle L(a,p)}$.

Berechnung

Das eulersche Kriterium gibt eine mögliche Berechnungsmethode zum Legendre-Symbol an:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$.

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff mit

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\operatorname {sgn} (\pi _{a,p}),}$

wobei ${\displaystyle \pi _{a,p}}$, die durch

${\displaystyle \pi _{a,p}(k)\equiv a\cdot k{\pmod {p}}}$

definierte Permutation der Zahlen von ${\displaystyle k=0,\dotsc p-1}$ ist, und ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet.

Beispiele

2 ist quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja ${\displaystyle 2\equiv 3^{2}{\pmod {7}}}$:

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)\equiv 2^{\frac {7-1}{2}}=2^{3}\equiv 1\mod 7}$

5 ist quadratischer Nichtrest modulo 7:

${\displaystyle \left({\frac {5}{7}}\right)\equiv 5^{\frac {7-1}{2}}=5^{3}\equiv 6\equiv -1\mod 7}$

14 ist durch 7 teilbar (also weder Rest noch Nichtrest von 7):

${\displaystyle \left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{\frac {7-1}{2}}=14^{3}\equiv 0\mod 7}$

Rechenregeln

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Außerdem gelten für alle ganze Zahlen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und alle Primzahlen ${\displaystyle p}$ folgende Rechenregeln:

• ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}\Rightarrow \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}$
• ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)=\left({\frac {a\cdot b}{p}}\right)}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)=0}$.

Spezielle Werte

Es gilt

${\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1,}$

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1,&{\mbox{ für }}p\equiv 1{\mbox{ oder }}7{\pmod {8}},\\-1,&{\mbox{ für }}p\equiv 3{\mbox{ oder }}5{\pmod {8}},\end{cases}}}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1,&{\mbox{ für }}p\equiv 1{\pmod {4}},\\-1,&{\mbox{ für }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Diese speziellen Werte reichen aus, um jedes nicht-verschwindende Legendre-Symbol durch wiederholtes Aufteilen des „Zählers“ in Primfaktoren, Anwenden des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und modulo-Reduktion zu berechnen. So ist zum Beispiel

${\displaystyle \left({\frac {10}{31}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)\left({\frac {5}{31}}\right)=1\cdot (-1)^{{\frac {5-1}{2}}{\frac {31-1}{2}}}\left({\frac {31}{5}}\right)=\left({\frac {1}{5}}\right)=1.}$

Die besondere Stellung der Zahl 3

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und −1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

${\displaystyle \left({\frac {a}{3}}\right)\equiv a^{\frac {3-1}{2}}\ \operatorname {mod} \ 3=a\ \operatorname {mod} \ 3}$

Andererseits gilt auch:

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=\prod _{l=1}^{\frac {p-1}{2}}\left[3-4\,\sin ^{2}{\left({\frac {2\pi l}{p}}\right)}\right]}$

Besonderheiten bei Primzahlen

Siehe dazu unter Pythagoreische Primzahl.