Determinante

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ sind ${\displaystyle \det(A)}$, ${\displaystyle \det A}$ oder ${\displaystyle |A|}$.

Zum Beispiel kann die Determinante einer ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

mit der Formel

${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$

berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man ${\displaystyle n}$ Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die ${\displaystyle n}$ Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des n (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ durch die Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \left|\det A\right|\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ durch die ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das ${\displaystyle m}$-dimensionale Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\det(A^{T}A)}}\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist, siehe Gramsche Determinante.

Das Konzept der Determinante ist von Interesse für ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen mit ${\displaystyle n>1}$. Für ${\displaystyle n=1}$ verkommt es zur Trivialität ${\displaystyle \det a=a}$: So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall ${\displaystyle n=1}$ aus einer Gleichung ${\displaystyle ax=b}$. Lösbarkeitskriterium und -strategie für diese Gleichung sind bekannt: Falls ${\displaystyle a\neq 0}$, setze ${\displaystyle x:=a^{-1}b}$.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Determinante zu definieren (s. unten). Die gebräuchlichste ist die folgende rekursive Definition.

Entwicklung der Determinante nach einer Spalte oder Zeile:

Für n = 2:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$

Für n = 3: Entwicklung nach der 1. Spalte

${\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}{\color {red}a_{11}}&a_{12}&a_{13}\\{\color {blue}a_{21}}&a_{22}&a_{23}\\{\color {red}a_{31}}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}={\color {red}a_{11}}\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &a_{22}&a_{23}\\\Box &a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}a_{21}}\,{\begin{vmatrix}\Box &a_{12}&a_{13}\\\Box &\Box &\Box \\\Box &a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {red}a_{31}}\,{\begin{vmatrix}\Box &a_{12}&a_{13}\\\Box &a_{22}&a_{23}\\\Box &\Box &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle ={\color {red}a_{11}}\,{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}a_{21}}\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {red}a_{31}}\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}}$

Entsprechend für n = 4, …

Der Laplacesche Entwicklungssatz (s. unten) sagt:

• Man darf eine Determinante nach einer beliebigen Spalte oder Zeile entwickeln, solange man das schachbrettartige Vorzeichenmuster einhält:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {red}+}&{\color {blue}-}&{\color {red}+}&\cdots \\{\color {blue}-}&{\color {red}+}&{\color {blue}-}&\cdots \\{\color {red}+}&{\color {blue}-}&{\color {red}+}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}}$

Formal lässt sich das so schreiben:

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle j}$-ten Spalte)

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle i}$-ten Zeile),

wobei ${\displaystyle A_{ij}}$ die ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$-Untermatrix von ${\displaystyle A}$ ist, die durch Streichen der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und ${\displaystyle j}$-ten Spalte entsteht.

Beispiel:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}}=0\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}-3\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}}+1\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle =0\cdot (2\cdot 0-1\cdot 1)-3\cdot (1\cdot 0-1\cdot 2)+1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 2)=0+6-3=3}$

1. ${\displaystyle \det E=1}$ für Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$
2. ${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$, wobei ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$ die transponierte Matrix von ${\displaystyle A}$ ist.
3. ${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}.}$
4. Für quadratische Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$.

5. ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$ für eine ${\displaystyle n\times n}$ Matrix ${\displaystyle A}$ und eine Zahl ${\displaystyle c}$.
6. Für eine Dreiecksmatrix ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und ${\displaystyle c}$ eine Zahl, so gelten:

    a1) ${\displaystyle \det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})=\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})+\det({\color {red}w},v_{2},\ldots ,v_{n})}$,

    a2) ${\displaystyle \det({\color {red}c}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})={\color {red}c}\det(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) ${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecks-Determinante umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für ${\displaystyle 3\times 3}$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus:

Beispiel, Anwendung der Regeln 11, 10, 8:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&3\\3&3&3\\6&6&6\end{vmatrix}}=2{\begin{vmatrix}1&2&3\\3&3&3\\3&3&3\end{vmatrix}}=0}$

Eine Abbildung ${\displaystyle \det \colon K^{n\times n}\to K}$ vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrunde liegenden Körper ${\displaystyle K}$ bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften (Axiome nach Karl Weierstraß)^[1] erfüllt, wobei eine quadratische Matrix spaltenweise als ${\displaystyle A=(v_{1},\dotsc ,v_{n})}$ geschrieben wird:

• Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n},w\in K^{n}}$ gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i}+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\\&=\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})+\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\end{aligned}}}$

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle r\in K}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})=r\cdot \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

• Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1}\ldots ,v_{n})=0}$

Hieraus folgt, dass sich das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{n})=-\det(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$

Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x=-x}$ besitzt (Charakteristik 2).

• Sie ist normiert, d. h., die Einheitsmatrix hat die Determinante 1:

${\displaystyle \det E_{n}=1}$

Es lässt sich beweisen (und Karl Weierstraß hat dies 1864 oder sogar früher getan),^[2] dass es eine und nur eine solche normierte alternierende Multilinearform auf der Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über dem zugrundeliegenden Körper gibt – nämlich diese Determinantenfunktion ${\displaystyle \det }$ (Weierstraßsche Determinantenkennzeichnung).^[3] Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Für eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel für die Determinante einer Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})\in K^{n\times n}}$ definiert:

${\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}$

Die Summe wird über alle Permutationen ${\displaystyle \sigma }$ der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ vom Grad n berechnet. ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ bezeichnet das Signum der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ (+1, falls ${\displaystyle \sigma }$ eine gerade Permutation ist, und −1, falls sie ungerade ist) und ${\displaystyle \sigma (i)}$ ist der Funktionswert der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ an der Stelle ${\displaystyle i}$.

Beispielhaft für eine ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{\text{11}}&a_{\text{12}}&a_{\text{13}}\\a_{\text{21}}&a_{\text{22}}&a_{\text{23}}\\a_{\text{31}}&a_{\text{32}}&a_{\text{33}}\end{pmatrix}}}$

Für ${\displaystyle n=3}$ enthält die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ alle ${\displaystyle 3!=6}$ Permutationen, in welchen die Zahlen 1, 2 und 3 angeordnet werden können: ${\displaystyle (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}$.

Für jede dieser Permutationen wird die Parität berechnet, welche negativ ist, wenn die Anzahl ihrer Fehlstände ungerade ist, und positiv, wenn nicht.
Dann wird das Produkt der Einträge der Matrix von ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ berechnet, wobei der erste Index ${\displaystyle i}$, der zweite Index die Zahl ist, auf den der ${\displaystyle i}$-te Eintrag der Permutation abbildet.

Für die Permutation ${\displaystyle (1,2,3)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (1,3,2)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (2,1,3)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (2,3,1)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (3,1,2)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}}$.

Für die Permutation ${\displaystyle (3,2,1)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}}$.

Die Summe dieser Terme ergibt dann die Determinante der ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix:

${\displaystyle \det(A)=a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}-a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}-a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}+a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}+a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}-a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}}$

Durch eine Umordnung der Terme wird ersichtlich, dass dies für eine ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix äquivalent mit der Regel von Sarrus ist:

${\displaystyle \det(A)=a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}+a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}+a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}-a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}-a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}-a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}}$

Die Leibniz-Formel enthält ${\displaystyle n!}$ Summanden und wird deshalb schnell umso unhandlicher, je größer ${\displaystyle n}$ ist. Sie eignet sich jedoch gut zum Beweis von Aussagen über Determinanten. Beispielsweise ist mit ihrer Hilfe die Stetigkeit der Determinantenfunktion ersichtlich.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Einsteinsche Summenkonvention:

${\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}}$

Da ähnliche Matrizen die gleiche Determinante haben, kann man die Definition der Determinante von quadratischen Matrizen auf die durch diese Matrizen dargestellten linearen Selbstabbildungen (Endomorphismen) übertragen:

Die Determinante ${\displaystyle \det f}$ einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ in sich ist die Determinante ${\displaystyle \det A}$ einer Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle f}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}$. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Hierbei kann ${\displaystyle V}$ ein beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper ${\displaystyle K}$ sein. Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring ${\displaystyle K}$ mit Einselement und einen freien Modul vom Rang ${\displaystyle n}$ über ${\displaystyle K}$ betrachten.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Es sei ${\displaystyle \omega }$ eine Determinantenfunktion. Dann ist ${\displaystyle \det f}$ bestimmt durch ${\displaystyle f^{*}\omega =\left(\det f\right)\omega }$, wobei ${\displaystyle f^{*}}$ der Rücktransport von Multilinearformen durch ${\displaystyle f}$ ist. Es sei ${\displaystyle \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$. Dann gilt:

${\displaystyle \det f:={\frac {\omega \left(f\left(v_{1}\right),\dotsc ,f\left(v_{n}\right)\right)}{\omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}}}$

Es ist ${\displaystyle \det f}$ unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle \omega \neq 0}$ und der Basis. Geometrisch interpretiert erhält man das Volumen des von ${\displaystyle \left(f\left(v_{1}\right),\dotsc ,f\left(v_{n}\right)\right)}$ aufgespannten Spates, indem man das Volumen des von ${\displaystyle \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}$ aufgespannten Spates mit dem Faktor ${\displaystyle \det f}$ multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei ${\displaystyle n}$ die Dimension von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$ die ${\displaystyle n}$-te äußere Potenz von ${\displaystyle V}$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle \Lambda ^{n}f\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$, die durch

${\displaystyle v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}\mapsto f\left(v_{1}\right)\wedge \dotsb \wedge f\left(v_{n}\right)}$

festgelegt ist. (Diese Abbildung ${\displaystyle \Lambda ^{n}f}$ ergibt sich durch universelle Konstruktion als Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ auf die äußere Algebra ${\displaystyle \Lambda V}$, eingeschränkt auf die Komponente vom Grad ${\displaystyle n}$.)

Da der Vektorraum ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$ eindimensional ist, ist ${\displaystyle \Lambda ^{n}f}$ einfach nur die Multiplikation mit einem Körperelement. Dieses Körperelement ist ${\displaystyle \det f}$. Es gilt also

${\displaystyle (\Lambda ^{n}f)(v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n})=(\det f)\,v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}}$.

Liegt eine ${\displaystyle 3\times 3}$-Matrix vor, lässt sich deren Determinante auch über das Spatprodukt berechnen.

Allgemein können Determinanten mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:

• Ist ${\displaystyle A}$ eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von ${\displaystyle A}$.
• Falls ${\displaystyle B}$ sich aus ${\displaystyle A}$ ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist ${\displaystyle \det B=-\det A}$.
• Falls ${\displaystyle B}$ sich aus ${\displaystyle A}$ ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist ${\displaystyle \det B=\det A}$.
• Falls ${\displaystyle B}$ sich aus ${\displaystyle A}$ ergibt, indem man das ${\displaystyle c}$-Fache einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist ${\displaystyle \det B=c\cdot \det A}$.

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei dieser vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Auf diesem Prinzip basiert auch die Determinantenberechnung mittels der LR-Zerlegung. Da sowohl ${\displaystyle L}$ als auch ${\displaystyle R}$ Dreiecksmatrizen sind, ergeben sich ihre Determinanten aus dem Produkt der Diagonalelemente, die bei ${\displaystyle L}$ alle auf 1 normiert sind. Gemäß dem Determinantenproduktsatz ergibt sich die Determinante damit aus dem Zusammenhang

${\displaystyle \det A=\det \left(L\cdot R\right)=\det L\cdot \det R=\det R=r_{1,1}\cdot r_{2,2}\dotsb r_{n,n}.}$

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer ${\displaystyle n\times n}$-Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. Die beiden Formeln lauten

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle j}$-ten Spalte)

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle i}$-ten Zeile),

wobei ${\displaystyle A_{ij}}$ die ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$-Untermatrix von ${\displaystyle A}$ ist, die durch Streichen der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und ${\displaystyle j}$-ten Spalte entsteht. Das Produkt ${\displaystyle (-1)^{i+j}\det A_{ij}}$ wird Cofaktor ${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}}$ genannt.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt (s. oben).

Der laplacesche Entwicklungssatz lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern. Statt nur nach einer Zeile oder Spalte kann man auch nach mehreren Zeilen oder Spalten entwickeln. Die Formel dafür lautet

${\displaystyle \det A=\sum _{|J|=|I|}(-1)^{\sum I+\sum J}\det A_{IJ}\det A_{I'J'}}$

mit den folgenden Bezeichnungen: ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ sind Teilmengen von ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ und ${\displaystyle A_{IJ}}$ ist die Untermatrix von ${\displaystyle A}$, die aus den Zeilen mit den Indizes aus ${\displaystyle I}$ und den Spalten mit den Indizes aus ${\displaystyle J}$ besteht. ${\displaystyle I'}$ und ${\displaystyle J'}$ bezeichnen die Komplemente von ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$. ${\displaystyle \sum I=\sum \nolimits _{i\in I}i}$ ist die Summe der Indizes aus ${\displaystyle I}$. Für die Entwicklung nach den Zeilen mit den Indizes aus ${\displaystyle I}$ läuft die Summe über alle ${\displaystyle J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$, wobei die Anzahl dieser Spaltenindizes ${\displaystyle |J|}$ gleich der Anzahl der Zeilen ${\displaystyle |I|}$ ist, nach denen entwickelt wird. Für die Entwicklung nach den Spalten mit den Indizes aus ${\displaystyle J}$ läuft die Summe über ${\displaystyle I}$. Die Anzahl der Summanden ergibt sich als der Binomialkoeffizient ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ mit ${\displaystyle k=|I|=|J|}$.

Effizienz:

Der Aufwand für die Berechnung nach dem laplaceschen Entwicklungssatz für eine Matrix der Dimension ${\displaystyle n\times n}$ ist von der Ordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n!)}$, während die üblichen Verfahren nur von ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ sind und teilweise noch besser (siehe beispielsweise Strassen-Algorithmus) gestaltet werden können. Dennoch kann der laplacesche Entwicklungssatz bei kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen gut angewendet werden.

Dyaden sind Matrizen, die durch das dyadische Produkt „⊗“ von zwei Vektoren gebildet werden. Jede Matrix lässt sich als Summe solcher Dyaden darstellen. Werden die Vektoren aus der Standardbasis ${\displaystyle \{{\hat {e}}_{j}\vert j=1,\dots ,n\}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ entnommen, entsteht die Darstellung

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&\dots &A_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&\dots &A_{nn}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$

für eine n×n-Matrix ${\displaystyle A}$. Statt der Standardbasis kann aber auch jede andere Vektorraumbasis ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{k}\vert k=1,\dots ,n\}}$ oder ${\displaystyle \{{\vec {b}}_{l}\vert l=1,\dots ,n\}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ benutzt werden:

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}={\begin{pmatrix}A^{11}&\dots &A^{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A^{n1}&\dots &A^{nn}\end{pmatrix}}_{{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}}}$

Die Determinante dieser Matrix berechnet sich zu

${\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&\dots &{\vec {a}}_{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}A^{11}&\dots &A^{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A^{n1}&\dots &A^{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {b}}_{1}&\dots &{\vec {b}}_{n}\end{vmatrix}}}$.

Hier wurden die Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}_{k}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {b}}_{l}}$ spaltenweise in Matrizen eingelagert, was statthaft ist, weil sich die Determinante durch Transposition nicht ändert.

Denn mit dem Standardskalarprodukt „·“ ist

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}({\vec {a}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot (A^{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot ({\hat {e}}_{l}\otimes {\vec {b}}_{l})}$,

woraus obiges Ergebnis aus dem #Determinantenproduktsatz folgt.

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

${\displaystyle \det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B}$ für alle ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$.

Das bedeutet, dass die Abbildung ${\displaystyle \det \colon \mathrm {GL} (n,K)\rightarrow K^{*}}$ ein Gruppenhomomorphismus von der allgemeinen linearen Gruppe in die Einheitengruppe ${\displaystyle K^{*}}$ des Körpers ist. Der Kern dieser Abbildung ist die spezielle lineare Gruppe.

Allgemeiner gilt für die Determinante einer quadratischen Matrix, die das Produkt zweier (nicht notwendig quadratischer) Matrizen ist, der Satz von Binet-Cauchy. Noch allgemeiner ergibt sich als unmittelbare Folgerung aus dem Satz von Binet-Cauchy eine Formel für die Berechnung eines Minors der Ordnung ${\displaystyle k}$ eines Produktes zweier Matrizen. Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix und ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle n\times p}$-Matrix und ist ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,m\}}$ und ${\displaystyle J\subseteq \{1,\ldots ,p\}}$ mit ${\displaystyle |I|=|J|=k}$, dann gilt mit den Bezeichnungen wie beim verallgemeinerten Entwicklungssatz

${\displaystyle \det(A\cdot B)_{IJ}=\sum _{K\subseteq \{1,\ldots ,n\},|K|=k}\det A_{IK}\det B_{KJ}.}$

Der Fall ${\displaystyle m=p=k}$ liefert den Satz von Binet-Cauchy (der für ${\displaystyle n=m}$ zum gewöhnlichen Determinantenproduktsatz wird) und der Spezialfall ${\displaystyle k=1}$ liefert die Formel für die gewöhnliche Matrizenmultiplikation.

Eine Matrix ${\displaystyle A}$ ist genau dann invertierbar (also regulär), falls ${\displaystyle \det A}$ eine Einheit des zugrundeliegenden Ringes ist (das heißt ${\displaystyle \det A\neq 0}$ für Körper). Falls ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, dann gilt für die Determinante der Inversen ${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)=\left(\det A\right)^{-1}}$.

Falls ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ähnlich sind, das heißt, falls eine invertierbare Matrix ${\displaystyle X}$ existiert, sodass ${\displaystyle A=X^{-1}BX}$, dann stimmen ihre Determinanten überein, denn

${\displaystyle \det A=\det \left(X^{-1}BX\right)=\det \left(X^{-1}\right)\cdot \det \left(B\right)\cdot \det(X)=\det \left(X\right)^{-1}\cdot \det \left(B\right)\cdot \det \left(X\right)=\det B}$.

Deswegen kann man unabhängig von einer Koordinatendarstellung die Determinante einer linearen Selbstabbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ definieren (wobei ${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum ist), indem man eine Basis für ${\displaystyle V}$ wählt, die Abbildung ${\displaystyle f}$ durch eine Matrix relativ zu dieser Basis beschreibt und die Determinante dieser Matrix nimmt. Das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Basis.

Es gibt Matrizen, die die gleiche Determinante haben, aber nicht ähnlich sind.

Für die Determinante einer ${\displaystyle (2\times 2)}$-Blockmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

mit quadratischen Blöcken ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle D}$ kann man unter gewissen Voraussetzungen Formeln angeben, welche die Blockstruktur ausnutzen. Für ${\displaystyle B=0}$ oder ${\displaystyle C=0}$ folgt aus dem verallgemeinerten Entwicklungssatz:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)}$.

Diese Formel wird auch Kästchensatz genannt.^[4]

Ist ${\displaystyle A}$ invertierbar, so folgt aus der Zerlegung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&0\\C&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}}$

die Formel

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B).}$

Wenn ${\displaystyle D}$ invertierbar ist, so lässt sich formulieren:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)}$^[5]

Im Spezialfall, dass alle vier Blöcke die gleiche Größe haben und paarweise kommutieren, ergibt sich daraus mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC)=\det \left(\det _{R}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\right).}$

Dabei bezeichne ${\displaystyle R\subseteq K^{n\times n}}$ einen kommutativen Unterring des Ringes aller ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Einträgen aus dem Körper ${\displaystyle K}$, sodass ${\displaystyle \{A,B,C,D\}\subseteq R}$ (zum Beispiel den von diesen vier Matrizen erzeugten Unterring), und ${\displaystyle \det _{R}\colon R^{2\times 2}\rightarrow R}$ sei die entsprechende Abbildung, die einer quadratischen Matrix mit Einträgen aus ${\displaystyle R}$ ihre Determinante zuordnet. Diese Formel gilt auch, falls A nicht invertierbar ist, und verallgemeinert sich für Matrizen aus ${\displaystyle R^{m\times m}}$.^[6]

Ist das charakteristische Polynom der ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}(x):=\det(x\cdot E_{n}-A)}$

${\displaystyle \chi _{A}(x)=x^{n}-a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}-\dotsb +(-1)^{n}a_{n}}$,

so ist ${\displaystyle a_{n}}$ die Determinante von ${\displaystyle A}$.

Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren (mit nicht notwendigerweise verschiedenen ${\displaystyle \alpha _{i}}$):

${\displaystyle \chi _{A}(x)=(x-\alpha _{1})\dotsm (x-\alpha _{n})}$,

so ist insbesondere

${\displaystyle \det(A)=\alpha _{1}\dotsm \alpha _{n}}$.

Sind ${\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{r}}$ die verschiedenen Eigenwerte der Matrix ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle d_{i}}$-dimensionalen verallgemeinerten Eigenräumen, so ist

${\displaystyle \det(A)=\lambda _{1}^{d_{1}}\dotsm \lambda _{r}^{d_{r}}}$.

Die Determinante von reellen (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$) oder komplexen (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} )}$ quadratischen Matrizen fester Dimension ${\displaystyle n}$ ist eine Polynomfunktion ${\displaystyle \det \colon \mathbb {K} ^{n\times n}\to \mathbb {K} }$, was direkt aus der Leibniz-Formel folgt. Als solche ist sie überall stetig und differenzierbar. Ihr totales Differential an der Stelle ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ kann mit Hilfe von Jacobis Formel dargestellt werden:

${\displaystyle D(\det A)H=\operatorname {spur} \left(A^{\#}H\right)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}^{\#}h_{ji},}$

wobei ${\displaystyle A^{\#}=\operatorname {adj} (A)}$ die zu ${\displaystyle A}$ komplementäre Matrix und ${\displaystyle \operatorname {spur} }$ die Spur einer Matrix bezeichnet. Insbesondere ergibt sich für invertierbares ${\displaystyle A}$, dass

${\displaystyle D(\det A)H=\det A\cdot \operatorname {spur} \left(A^{-1}H\right)=\det(A)\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}h_{ji},}$

oder als Näherungsformel

${\displaystyle \det \left(A+H\right)-\det A\approx \det A\cdot \operatorname {spur} \left(A^{-1}\,H\right),}$

falls die Werte der Matrix ${\displaystyle H}$ hinreichend klein sind. Der Spezialfall, wenn ${\displaystyle A}$ gleich der Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$ ist, ergibt

${\displaystyle \det \left(E+H\right)\approx 1+\operatorname {spur} H.}$

Alternativ lassen sich auch die partiellen Ableitungen von ${\displaystyle \det(A)}$ nach den Einträgen ${\displaystyle a_{ij}}$ der Matrix ${\textstyle A}$ definieren gemäß

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial a_{ij}}}:=\left.{\frac {\partial \det(A+he_{i}e_{j}^{T})}{\partial h}}\right|_{h=0}=D(\det A)e_{i}e_{j}^{T}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\operatorname {cof} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}}$ für ${\displaystyle i,j=1,2,\ldots ,n}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {cof} (A):=\operatorname {adj} (A)^{T}}$ die Kofaktormatrix ist und die letzte Darstellung wiederum nur für invertierbare ${\textstyle A}$ gilt. Partielle Ableitungen von Determinanten findet man vor allem in Physiklehrbüchern (z. B. zur Elastizitätstheorie).

Die Permanente ist ein „vorzeichenloses“ Analogon zur Determinante, wird allerdings viel seltener verwendet.

Die Determinante kann auch auf Matrizen mit Einträgen in einem kommutativen Ring mit Eins definiert werden. Dies erfolgt mit Hilfe einer gewissen antisymmetrischen multilinearen Abbildung: Falls ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring ist und ${\displaystyle M=R^{n}}$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale freie ${\displaystyle R}$-Modul, dann sei

${\displaystyle f\colon M^{n}\to R}$

die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle R}$-linear in jedem der ${\displaystyle n}$ Argumente.
• ${\displaystyle f}$ ist antisymmetrisch, d. h., falls zwei der ${\displaystyle n}$ Argumente gleich sind, so liefert ${\displaystyle f}$ Null.
• ${\displaystyle f\left(e_{1},\ldots ,e_{n}\right)=1}$, wobei ${\displaystyle e_{i}}$ das Element von ${\displaystyle M}$ ist, das eine 1 als ${\displaystyle i}$-te Koordinate hat und sonst Nullen.

Eine Abbildung mit den ersten beiden Eigenschaften wird auch als Determinantenfunktion, Volumen oder alternierende ${\displaystyle n}$-Linearform bezeichnet. Man erhält die Determinante, indem man ${\displaystyle M^{n}}$ auf natürliche Weise mit dem Raum der quadratischen Matrizen ${\displaystyle R^{n\times n}}$ identifiziert:

${\displaystyle \det \colon R^{n\times n}\cong M^{n}{\xrightarrow {f}}R}$

• Determinante (Knotentheorie)
• Funktionaldeterminante (auch Jacobi-Determinante genannt)
• Gramsche Determinante
• Pfaffsche Determinante
• Smithsche Determinante
• Vandermonde-Determinante
• Wronski-Determinante

Historisch hängen Determinanten (lat. determinare „abgrenzen“, „bestimmen“) und Matrizen sehr eng zusammen, was auch nach unserem heutigen Verständnis noch so ist. Allerdings wurde der Begriff der Matrix erst über 200 Jahre nach den ersten Überlegungen zu Determinanten geprägt. Ursprünglich wurde eine Determinante im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen betrachtet. Die Determinante „determiniert“, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich null ist). Die ersten Betrachtungen dieser Art für ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen wurden von Gerolamo Cardano Ende des 16. Jahrhunderts durchgeführt. Zirka hundert Jahre später studierten Gottfried Wilhelm Leibniz und Seki Takakazu unabhängig voneinander Determinanten größerer linearer Gleichungssysteme.^[7] Seki, der mittels Determinanten versuchte, schematische Lösungsformeln für Gleichungssysteme anzugeben, fand für den Fall von drei Unbekannten eine Vorschrift, die der späteren sarrusschen Regel entsprach.^[8]

Im 18. Jahrhundert wurden Determinanten ein fester Bestandteil der Technik zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Im Zusammenhang mit seinen Studien zu Schnittpunkten zweier algebraischer Kurven berechnete Gabriel Cramer die Koeffizienten eines allgemeinen Kegelschnitts

${\displaystyle A+By+Cx+Dy^{2}+Exy+x^{2}=0,}$

der durch fünf vorgegebene Punkte verläuft, und stellte dabei die heute nach ihm benannte Cramersche Regel auf. Für Gleichungssysteme mit bis zu vier Unbekannten trat diese Formel schon bei Colin Maclaurin auf.^[8]

Mehrere bekannte Mathematiker wie Étienne Bézout, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange und Pierre-Simon Laplace befassten sich nun vor allem mit der Berechnung von Determinanten. Einen wichtigen Fortschritt in der Theorie erzielte Alexandre-Théophile Vandermonde in einer 1771 vollendeten und 1776 erschienenen Arbeit zur Eliminationstheorie. Darin formulierte er einige grundlegende Aussagen über Determinanten und gilt daher als ein Begründer der Theorie der Determinante. Zu diesen Resultaten gehörte beispielsweise die Aussage, dass eine gerade Anzahl von Vertauschungen zweier benachbarter Spalten oder Zeilen das Vorzeichen der Determinante nicht ändert, wohingegen sich das Vorzeichen der Determinante bei einer ungeraden Anzahl von Vertauschungen benachbarter Spalten oder Zeilen ändert.^[8]

Während seiner Untersuchungen von binären und ternären quadratischen Formen verwendete Gauß die schematische Notation einer Matrix, ohne dieses Zahlenfeld als Matrix zu bezeichnen. Dabei definierte er als Nebenprodukt seiner Untersuchungen die heutige Matrizenmultiplikation und zeigte für gewisse Spezialfälle den Determinantenproduktsatz. Augustin-Louis Cauchy systematisierte die Theorie der Determinante weiter. Er führte beispielsweise die konjugierten Elemente ein und unterschied klar zwischen den einzelnen Elementen der Determinante beziehungsweise zwischen den Unterdeterminanten verschiedener Ordnung. Außerdem formulierte und bewies er Sätze über Determinanten wie zum Beispiel den Determinantenproduktsatz oder dessen Verallgemeinerung, die Formel von Binet-Cauchy. Außerdem trug er wesentlich dazu bei, dass sich der Begriff „Determinante“ für diese Abbildung durchsetzte. Daher kann insgesamt auch Augustin-Louis Cauchy als Begründer der Theorie der Determinante angesehen werden.^[8]

Die axiomatische Behandlung der Determinante als Funktion von ${\displaystyle n\times n}$ unabhängigen Variablen gab als erster Karl Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen (spätestens ab dem Jahre 1864 und möglicherweise schon davor), an die dann Ferdinand Georg Frobenius in seinen Berliner Vorlesungen des Sommersemesters 1874 anknüpfte und dabei unter anderem und vermutlich als erster den laplaceschen Entwicklungssatz systematisch auf diese Axiomatik zurückführte.^[2]

Wikiversity: Einführung der Determinante – Kursmaterialien

• Eigenschaften, Berechnung der Determinante, Beweise (PDF; 237 KiB)
• Online-Tool zum Berechnen von Determinanten
• Online-Tool zum Berechnen von Determinanten, Produkten von Matrizen, Eigenvektoren, Linearen Gleichungssystemen usw.

1. ↑ Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbesserte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7, S. 178. 
2. ↑ ^{a b} Ferdinand Georg Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal). Band 129, 1905, S. 179–180. 
3. ↑ Günter Pickert: Analytische Geometrie. 6., durchgesehene Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967, S. 130. 
4. ↑ Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2, S. 114. 
5. ↑ Matrix Reference Manual.
6. ↑ John R. Silvester: Determinants of Block Matrices. In: The Mathematical Gazette. Bd. 84, Nr. 501 (November 2000), S. 460–467,(PDF; 152 kB). (Memento vom 10. Juni 2009 im Internet Archive). Bei: mth.kcl.ac.uk.
7. ↑ Eberhard Knobloch: Erste europäische Determinantentheorie. In: Erwin Stein, Albert Heinekamp (Hrsg.): Gottfried Wilhelm Leibniz – Das Wirken des großen Philosophen und Universalgelehrten als Mathematiker, Physiker, Techniker. Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Gesellschaft, Hannover 1990, S. 32–41. ISBN 3-9800978-4-6.
8. ↑ ^{a b c d} Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 335–339.