LOOP-Programm

LOOP-Programme sind Programme in der Programmiersprache LOOP, einer stark eingeschränkten, modellhaften Sprache, die nur die Formulierung von Additionen, Wertzuweisungen und endlich oft durchlaufende Schleifen erlaubt. LOOP-Programme spielen in der Theoretischen Informatik eine Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit Berechenbarkeit. Eine Funktion heißt LOOP-berechenbar, wenn sie sich als LOOP-Programm formulieren lässt. Die Menge aller LOOP-Programme wird mit ${\displaystyle {\mathit {LOOP}}}$ bezeichnet.

Eigenschaften

Aufgrund ihrer Definition terminieren LOOP-Programme für alle Eingaben und definieren daher totale Funktionen^[1]. Damit stehen sie im Kontrast zu GOTO-Programmen und WHILE-Programmen, bei denen eine Terminierung des Programms nicht garantiert ist.

Die Menge der durch LOOP-Programme berechenbaren Funktionen ist eine echte Untermenge der berechenbaren totalen Funktionen (und damit auch eine Untermenge der durch WHILE- bzw. GOTO-Programme berechenbaren Funktionen)^[2]. Ein Beispiel für eine berechenbare, aber nicht LOOP-berechenbare totale Funktion ist die Ackermann-Funktion^[3].

Die Menge der LOOP-berechenbaren Funktionen entspricht der Menge der primitiv-rekursiven Funktionen^[4].

Formale Definition

Syntax

LOOP-Programme bestehen aus den Symbolen LOOP, DO, END, :=, +, - und ; sowie einer beliebigen Anzahl von Variablen und Konstanten. LOOP-Programme haben folgende Syntax in modifizierter Backus-Naur-Form:

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}P&:=&x_{i}:=x_{j}+c\\&|&x_{i}:=x_{j}-c\\&|&P;P\\&|&\mathrm {LOOP} \,x_{i}\,\mathrm {DO} \,P\,\mathrm {END} \end{array}}}$

Hierbei sind ${\displaystyle {\mathit {Var}}:=\{x_{0},x_{1},...\}}$ Variablennamen und ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$ Konstanten.

Semantik

Ein Ausdruck der Form

x0 := x1 + c

bedeutet die Zuweisung des um ${\displaystyle c}$ erhöhten Wertes der Variablen ${\displaystyle x_{1}}$ an die Variable ${\displaystyle x_{0}}$. Dabei ist für ${\displaystyle c}$ der Wert Null zulässig, so dass sich auch die direkte Zuweisung des Wertes einer Variablen an eine andere Variable mit diesem syntaktischen Konstrukt formulieren lässt:

x0 := x1 + 0

Ein Ausdruck der Form

x0 := x1 - c

bedeutet die Zuweisung des um ${\displaystyle c}$ verminderten Wertes der Variablen ${\displaystyle x_{1}}$ an die Variable ${\displaystyle x_{0}}$. Bei der Ausführung von Zuweisungen werden negative Werte implizit durch Nullen ersetzt.

Variablen dürfen in Zuweisungsausdrücken gleichzeitig auf der linken und auf der rechten Seite des Symbols := erscheinen. Ein Ausdruck der Form

x := x + c

erhöht beispielsweise den Wert der Variablen ${\displaystyle x}$ um ${\displaystyle c}$.

Die in einem LOOP-Programm verwendeten Variablen werden vor Beginn des Programmablaufs mit vorgegebenen Initialwerten vorbelegt.

Ein Ausdruck der Form

P1; P2

bedeutet die Hintereinanderausführung der Teilprogramme ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ in dieser Reihenfolge. Ein Ausdruck der Form

LOOP x DO P END

bedeutet die ${\displaystyle x}$-fache Ausführung des Teilprogramms ${\displaystyle P}$, wobei ${\displaystyle x}$ den Wert am Beginn der Abarbeitung darstellt. (Auch wenn ${\displaystyle x}$ durch die Ausführung von ${\displaystyle P}$ verändert wird, wird ${\displaystyle P}$ nur so oft ausgeführt, wie ${\displaystyle x}$ am Anfang war.) Hat ${\displaystyle x}$ dabei den Wert Null, so wird das Teilprogramm ${\displaystyle P}$ innerhalb des LOOP-Ausdrucks überhaupt nicht ausgeführt. Dieser Umstand erlaubt die Formulierung von Verzweigungen in LOOP-Programmen durch die bedingte Ausführung von Teilprogrammen in Abhängigkeit vom Wert einer Variablen.

Beispielprogramme

Addition

Das folgende LOOP-Programm weist der Variablen ${\displaystyle x_{0}}$ die Summe der Werte der Variablen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ zu.

x0 := x1 + 0;
LOOP x2 DO
   x0 := x0 + 1
END

Dabei bekommt zunächst ${\displaystyle x_{0}}$ den aktuellen Wert von ${\displaystyle x_{1}}$ zugewiesen und wird dann um den Wert von ${\displaystyle x_{2}}$ inkrementiert.

Dieses Programm lässt sich wie ein Unterprogramm in anderen LOOP-Programmen verwenden. Solche Verwendungen werden durch eine einfache Erweiterung der ursprünglichen LOOP-Syntax in der Form

x0 := x1 + x2

beschrieben.

Dabei gilt zu beachten, dass LOOP-Programme keine Unterprogramme aufrufen können^[5], sondern diese Unterprogramme inlined und somit ein Teil des Hauptprogramms werden^[6][2]. Andernfalls bestände die Möglichkeit einer zirkulären Abhängigkeit und damit einhergehend der Verlust der endlichen Laufzeit von LOOP-Programmen.

Multiplikation

Das folgende LOOP-Programm erhöht den Wert der Variablen ${\displaystyle x_{0}}$ um den Wert des Produktes der Werte der Variablen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$.

LOOP x1 DO
  x0 := x0 + x2
END

Das Programm benutzt dabei das im ersten Beispiel definierte Unterprogramm der Addition. Die ausgeführte Multiplikation wird dabei durch das ${\displaystyle x_{1}}$-fache Addieren des Wertes von ${\displaystyle x_{2}}$ zum Wert von ${\displaystyle x_{0}}$ realisiert.

Durch Einsetzen des LOOP-Programms für die Addition erhält man das äquivalente Programm in der ursprünglichen LOOP-Syntax.

LOOP x1 DO
  x0 := x0 + 0;
  LOOP x2 DO
    x0 := x0 + 1
  END
END

IF THEN ELSE

Das folgende LOOP-Programm simuliert eine if x₁ > c then P1 else P2 Anweisung, wobei x₁ eine Variable, c eine Konstante und P1, P2 beliebige LOOP-Programme sind. In dem Programm werden drei neue Variablen x_n1, x_n2, x_n3 verwendet.

xn1:=x1-c; xn2:=0; xn3:=1;
LOOP xn1 DO
  xn2 := 1
  xn3 := 0
END;
LOOP xn2 DO
  P1
END;
LOOP xn3 DO
  P2
END;

Das folgende LOOP-Programm simuliert eine if x₁ = c then P1 else P2 Anweisung, wobei x₁ eine Variable, c eine Konstante und P1, P2 beliebige LOOP-Programme sind. In dem Programm werden vier neue Variablen x_n1, x_n2, x_n3, x_n4 verwendet.

xn1:=x1-(c-1); xn2:=x1-c; xn3:=1; xn4:=1;
LOOP xn1 DO
  LOOP xn2 DO
     xn3:=0;
  END;
  LOOP xn3 DO
     P1;
     xn4:=0;
  END
END;
LOOP xn4 DO
  P2
END

Simulation von LOOP-Programmen durch WHILE-Programm

Ein jedes LOOP-Programm

LOOP x DO P END

kann durch das folgende WHILE-Programm simuliert werden

y := x
WHILE y != 0 DO y := y-1; P END

Siehe auch

• µ-Rekursion
• GOTO-Programm
• WHILE-Programm

Einzelnachweise

1. ↑ Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 93. 
2. ↑ ^{a b} Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 93,94. 
3. ↑ Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 94,112. 
4. ↑ Uwe Schöning: Theoretische Informatik- kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1824-1, S. 105. 
5. ↑ Prof. Dr. Till Tantau: Vorlesungsskript Theoretische Informatik. In: Institut für Theoretische Informatik - Universität zu Lübeck. 12. Februar 2010, S. 154–156, abgerufen am 23. Januar 2019: „Unterprogramme sind nicht erlaubt.“ 
6. ↑ Uwe Schöning: Theoretische Informatik - kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademisch Verlag, S. 102: „Die Funktion g (...) kann formal durch eine entsprechende Einsetzung definiert werden (...)“ 

Literatur

• Uwe Schöning: Theoretische Informatik - kurzgefasst. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, ISBN 3-8274-1099-1.