L-Raum

In der Mathematik sind L-Räume gewisse 3-Mannigfaltigkeiten, deren Heegaard-Floer-Homologie die einfachstmögliche ist. Die L-Raum-Vermutung legt einen Zusammenhang mit der (Nicht-)Anordbarkeit von Fundamentalgruppen und der (Nicht-)Existenz straffer Blätterungen nahe.

Definition

Eine geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist ein L-Raum, wenn sie eine rationale Homologiesphäre ist und ihre Heegaard-Floer-Homologie ${\displaystyle {\widehat {HF}}(Y)}$ eine freie abelsche Gruppe mit ${\displaystyle \sharp H_{1}(Y)}$ Erzeugern ist.

Beispiele

Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten sind L-Räume, insbesondere ist das der Fall für Linsenräume. Auch zusammenhängende Summen von sphärischen 3-Mannigfaltigkeiten sind L-Räume.

L-Raum-Vermutung

Die von Cameron Gordon aufgestellte L-Raum-Vermutung besagt, dass die folgenden Bedingungen für irreduzible rationale Homologiesphären ${\displaystyle Y}$ äquivalent sein sollen:

• ${\displaystyle Y}$ ist kein L-Raum,
• die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}Y}$ ist eine angeordnete Gruppe,
• ${\displaystyle Y}$ besitzt eine straffe Blätterung.

Literatur

• Boyer-Gordon-Watson: On L-spaces and left-orderable fundamental groups, Math. Ann. 356, 1213–1245 (2013).