Lévy-Verteilung

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\cdot {\frac {1}{(x-\mu )^{3/2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\mu )}}\right),\quad x>\mu }$., mit den beiden Parametern ${\displaystyle \gamma >0,\,\mu \in \mathbb {R} }$.

• ${\displaystyle \mu }$ ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der ${\displaystyle x}$-Achse;
• ${\displaystyle \gamma }$ ist ein Skalenparameter (Stauchung für ${\displaystyle \gamma <1}$; Streckung für ${\displaystyle \gamma >1}$).

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten ${\displaystyle \gamma =1,\mu =0}$; ihre Dichtefunktion lautet damit:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \cdot x^{3}}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2x}}},\quad x>0}$.

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X}$

(hier mit ${\displaystyle \alpha =1/2}$) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$. Da die Theorie der ${\displaystyle \alpha }$-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\infty }$. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

• Verlauf von Börsenkursen^[1]
• Umpolung des Erdmagnetfeldes^[2]
• Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien^[3]
• Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche^[4]
• Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen^[5]

1. ↑ Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014. 
2. ↑ Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014. 
3. ↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch). 
4. ↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch). 
5. ↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).