Kummer-Theorie

Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummer-Theorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion ${\displaystyle n}$-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von ${\displaystyle n}$ sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Sei ${\displaystyle n>1}$ eine natürliche Zahl. Eine Kummer-Erweiterung ist eine Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$, für die gilt:

• ${\displaystyle K}$ enthält ${\displaystyle n}$ verschiedene ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle X^{n}-1}$.
• ${\displaystyle L/K}$ hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten ${\displaystyle n}$. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente ${\displaystyle \sigma }$ der Galoisgruppe ${\displaystyle \sigma ^{n}=\operatorname {Id} }$ gilt und ${\displaystyle n}$ minimal mit dieser Eigenschaft ist.

• Ist ${\displaystyle n=2}$, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls ${\displaystyle K}$ nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$, wobei ${\displaystyle a}$ ein nichtquadratisches Element von ${\displaystyle K}$ ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für ${\displaystyle n=2}$ sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat ${\displaystyle K}$ die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung ${\displaystyle -1=1}$ gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.

• Für ${\displaystyle n=3}$ gibt es keine Kummer-Erweiterungen der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei ${\displaystyle a}$ eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und ${\displaystyle L}$ der Zerfällungskörper von ${\displaystyle X^{3}-a}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Sind ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt ${\displaystyle (\alpha /\beta )^{3}=\alpha ^{3}/\beta ^{3}=a/a=1}$. Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich ${\displaystyle \alpha /\beta }$ und ${\displaystyle \beta /\alpha }$, in ${\displaystyle L}$, sodass ${\displaystyle L}$ einen Unterkörper ${\displaystyle K}$ besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist ${\displaystyle L/K}$ eine Kummer-Erweiterung.

• Enthält ${\displaystyle K}$ allgemeiner ${\displaystyle n}$ verschiedene ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von ${\displaystyle K}$ kein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, so erhält man durch Adjunktion einer ${\displaystyle n}$-ten Wurzel eines Elements ${\displaystyle a}$ von ${\displaystyle K}$ zum Körper ${\displaystyle K}$ eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad ${\displaystyle m}$ ist dabei ein Teiler von ${\displaystyle n}$. Als Zerfällungskörper des Polynoms ${\displaystyle X^{n}-a}$ ist die Kummer-Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung ${\displaystyle m}$.

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, der ${\displaystyle n}$ verschiedene ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von ${\displaystyle K}$ vom Grad ${\displaystyle n}$ durch das Ziehen einer ${\displaystyle n}$-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit ${\displaystyle K^{\times }}$ die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers ${\displaystyle K}$, so stehen die zyklischen Erweiterungen von ${\displaystyle K}$ vom Grad ${\displaystyle n}$, die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von ${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n}}$, also der Faktorgruppe von ${\displaystyle K^{\times }}$ nach den ${\displaystyle n}$-ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe ${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}}$ wird die Erweiterung ${\displaystyle K(\Delta ^{1/n})}$ zugeordnet, die durch Adjunktion aller ${\displaystyle n}$-ten Wurzeln von Elementen aus ${\displaystyle \Delta }$ zu ${\displaystyle K}$ entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung ${\displaystyle L/K}$ die Untergruppe ${\displaystyle \Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}}$ zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe ${\displaystyle \Delta }$ und die Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ einander zu, so gibt es einen Isomorphismus ${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$, der gegeben ist durch ${\displaystyle a\mapsto (\sigma \mapsto {\tfrac {\sigma (\alpha )}{\alpha }})}$. Dabei steht ${\displaystyle \mu _{n}}$ für die Gruppe der ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln und ${\displaystyle \alpha }$ für eine beliebige ${\displaystyle n}$-te Wurzel von ${\displaystyle a\in \Delta }$.

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen ${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}}$ und abelschen Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle n}$. Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.^[1]

In Charakteristik ${\displaystyle p>0}$ gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad ${\displaystyle p}$, die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle p^{n}}$ stammt ebenfalls von Witt.^[2] Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.

1. ↑ Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631.  Die Originalarbeit von Witt ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51. 
2. ↑ Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 176, 1936, S. 126–140. 

• Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1986.
• L. V. Kuz'min: Kummer extension. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).