Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen , dabei sind Normierungsfaktoren und die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):
Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet.
hat neben der trivialen Lösung, , verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.
Zur Lösung wird folgender Produktansatz verwendet, wobei nur vom Radius und nur von Polar- und Azimutwinkel abhängt:
Dies ergibt eingesetzt:
Multiplikation von und Division durch liefert:
Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):
und einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen (winkelabhängige Gleichung), die gerade von den Kugelflächenfunktionen erfüllt wird, reduziert.
Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:
Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung.
Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) und Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen mit mehreren Veränderlichen) behandelt.
Lösung der Eigenwertgleichung
Die Eigenwertgleichung
wird mit folgendem Produktansatz separiert:
Umsortieren liefert:
Um beide Seiten getrennt voneinander variieren zu können, müssen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen. Diese Separationskonstante wird als gewählt. Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Polargleichung
und die Azimutalgleichung.
Die Azimutalgleichung wird durch gelöst, wobei die wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberfläche eingeschränkt sind auf ganze Zahlen . Mit erhält man die normierte Lösung der Azimutalgleichung:
Die Polargleichung kann mit einem Potenzreihenansatz gelöst werden. Die Lösungen sind nur dann endlich, eindeutig und stetig, wenn
.
Dann sind die Lösungen die zugeordneten Legendrepolynome und mit erhält man die normierte Lösung der Polargleichung:
Die Gesamtlösung des Winkelanteils ist das Produkt aus den beiden erhaltenen Lösungen, nämlich die Kugelflächenfunktionen.
Darstellung
Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen ergibt sich als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung liefert:
sind Normierungsfaktoren. Mitunter ist die Berechnung über:
mit
vorteilhafter (), da -faches Ableiten entfällt.
Eine andere Definition geht über homogene, harmonischePolynome. Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit schreiben und umgekehrt. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von die Funktionen
,
,
.
Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.
Eigenschaften
Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:
Parität: Der Übergang sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: . Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:
Komplexe Konjugation: Die jeweiligen erhält man aus den durch:
Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen
Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen (mit und im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:
Die Entwicklungskoeffizienten berechnen sich zu:
Dabei ist das komplex-konjugierte zu . Die Darstellung einer Funktion mit - und -Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion mit auf einer Kugeloberfläche.
Additionstheorem
Ein Resultat für die Kugelflächenfunktionen ist das Additionstheorem. Hierfür seien zwei Einheitsvektoren und durch Kugelkoordinaten bzw. dargestellt. Für den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren gilt dann
Das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen besagt nun
Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identität auf drei Dimensionen angesehen werden und ist als Unsöld-Theorem (nach Albrecht Unsöld) bekannt.[1]
Die ersten Kugelflächenfunktionen
Die ersten Kugelflächenfunktionen
Ylm
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
m = −3
m = −2
m = −1
m = 0
m = 1
m = 2
m = 3
Anwendungen
Quantenmechanik
Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflächenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl als Eigenwert. Daher spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen. Ferner ist
Lösung der Laplace-Gleichung
Für jedes ist die Funktion Lösung der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen, denn die Funktion erfüllt gerade obige Gleichung
.
Jede Lösung der Laplace-Gleichung lässt sich nun eindeutig als
darstellen. Somit lässt sich mit den Kugelflächenfunktionen die Laplace-Gleichung mit sphärischen Dirichlet-Randbedingungen lösen: Legen die Randbedingungen den Wert der Lösung , die auf der abgeschlossenen Einheitskugel definiert sein soll, auf eine bestimmte quadratintegrable Funktion auf der Einheitssphäre fest, so lässt sich nach Kugelflächenfunktionen entwickeln, wodurch sich die Koeffizienten und damit auf eindeutige Weise ganz ergeben. Auf Grundlage dieser Erkenntnis der Lösbarkeit mit sphärischen Randbedingungen lässt sich die allgemeine Lösbarkeit des Dirichlet-Problems der Laplace-Gleichung für hinreichend glatte Randbedingungen zeigen, dieser Beweis geht auf Oskar Perron zurück.[2] Das Dirichlet-Problem findet Anwendung in der Elektrostatik und Magnetostatik. Zum Lösen der Laplace-Gleichung, bei der eine Funktion gesucht ist, die außerhalb einer Kugel definiert ist und im Unendlichen verschwindet, zu gegebenen Randbedingungen, ist der Ansatz einer Zerlegung
möglich, der ebenfalls stets eine Lösung der Laplace-Gleichung zu den gegebenen Randbedingungen liefert.
Rotating spherical harmonics.gif Autor/Urheber:Cyp,
Lizenz:CC BY-SA 3.0 Veranschaulichung einiger Kugelflächenfunktionen (um die z-Achse rotierend). Dargestellt ist , wobei l der Zeile und m der Spalte entspricht. Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert
Spherical harmonics.png Autor/Urheber: Die Autorenschaft wurde nicht in einer maschinell lesbaren Form angegeben. Es wird Geoemyda als Autor angenommen (basierend auf den Rechteinhaber-Angaben).,
Lizenz:CC BY-SA 3.0 Spherical harmonics in 3D.
Plot of the absolute value of the spherical harmonic of degree n=5, and orders m=5,4,3,2,1,0,-4,-5
When the spherical harmonic order m is zero, the spherical harmonic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. When , there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sectoral. For the other cases, the functions checker the sphere, and they are referred to as tesseral.
Spherical harmonics of negative order have the same appearance, but much smaller amplitude and sign (-1)^m