Kroneckersches Lemma

Das Kroneckersche Lemma handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Es ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker.

Lemma

Sei ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine Folge reeller Zahlen.

Sei ${\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine monotone, unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen.

Falls ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b_{k}}}}$ konvergiert, so folgt ${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to 0}$.

Folgerung

Obiges Lemma vereinfacht sich beim Setzen von ${\displaystyle b_{k}=k}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ zu folgender Aussage:

Sei ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine Folge reeller Zahlen.

Falls ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{k}}}$ konvergiert, so folgt ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to 0}$.

Anwendung

Das Kroneckersche Lemma kann man zum Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwenden.

Literatur

• Acta Mathematica Hungarica, Volume 44, Numbers 1–2, März 1984, Seiten 143 und 144
• Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.  Seiten 190 und 194