Kronecker-Produkt

Das Kronecker-Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Matrizen beliebiger Größe. Das Ergebnis des Kronecker-Produkts ist eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt.

Definition

Ist eine -Matrix und eine -Matrix, so ist das Kronecker-Produkt definiert als

Explizit:

.

Das heißt, jedes Element der Matrix wird mit der Matrix multipliziert. Das Ergebnis ist also eine Matrix mit Zeilen und Spalten.

Beispiel

Eigenschaften

Rechenregeln

Das Kronecker-Produkt ist nicht kommutativ, das heißt, im Allgemeinen gilt

.

Es gibt jedoch Permutationsmatrizen so dass

gilt. Sind dabei und quadratisch, so kann gewählt werden.

Das Kronecker-Produkt ist assoziativ. Das heißt, es gilt

.

Symmetrien

Für die Transposition gilt

.

Für die konjugierte Matrix gilt

.

Für die adjungierte Matrix gilt

.

Bezüge zu anderen Operationen

Das Kronecker-Produkt ist bilinear mit der Matrizenaddition, das heißt, es gilt

,

und

Sind die Matrizenprodukte und definiert, so gilt[1]

.

Kenngrößen

Sind und quadratische Matrizen, so gilt für die Spur

.

Für den Rang gilt

.

Ist eine und eine Matrix, so gilt für die Determinante

.

Sind die Eigenwerte von und die Eigenwerte von , dann gilt:

sind die Eigenwerte von .

Für die Spektralnorm gilt demnach

.

Inverse

Sind invertierbar, so ist auch invertierbar mit Inverser

.

Für die Moore-Penrose-Inverse gilt außerdem

.

Allgemeiner gilt: Sind und verallgemeinerte Inversen von und , so ist eine verallgemeinerte Inverse von .

Matrixgleichung

Es seien die Matrizen gegeben und eine Matrix gesucht, so dass gilt. Dann gilt folgende Äquivalenz:

.

Hierbei steht für die spaltenweise Vektorisierung einer Matrix zu einem Spaltenvektor: Sind die Spalten der Matrix , so ist

ein Spaltenvektor der Länge . Analog ist ein Spaltenvektor der Länge .

Hat man den Vektor ermittelt, so ergibt sich daraus unmittelbar die zugehörige isomorphe Matrix .

Beweis der Äquivalenz

Es ist .

Dabei ist .

Gleichungssystem mit Matrixkoeffizienten

Für und seien die Matrizen gegeben.

Gesucht sind die Matrizen , welche das Gleichungssystem

lösen. Diese Aufgabenstellung ist äquivalent zum Lösen des Gleichungssystems

Weitere Anwendungen

Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in verallgemeinerten linearen Regressionsmodellen verwendet, um eine Kovarianzmatrix von korrelierten Störgrößen zu konstruieren (z. B. die Kovarianzmatrix bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen, siehe Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen). Man erhält hier etwa eine blockdiagonale Zellnermatrix.

Zudem braucht man das Kronecker-Produkt in der Quantenmechanik, um Systeme mit mehreren Teilchen, die ein beidseitig beschränktes Spektrum besitzen, zu beschreiben. Zustände mehrerer Teilchen sind dann Kroneckerprodukte der Einteilchenzustände. Im Falle eines unbeschränkten Spektrums bleibt nur die algebraische Struktur eines Kronecker-Produktes erhalten, da dann keine Darstellung durch Matrizen existiert.

Zusammenhang mit Tensorprodukten

Gegeben seien zwei lineare Abbildungen und zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Dann gibt es immer genau eine lineare Abbildung

zwischen den Tensorprodukten mit

.

Wenn wir auf den Vektorräumen und je eine Basis auswählen, so können wir der Abbildung ihre Darstellungsmatrix zuordnen. Es sei die Darstellungsmatrix von .

Das Kronecker-Produkt der Darstellungsmatrizen entspricht nun genau der Darstellungsmatrix der tensorierten Abbildung , wenn man auf und die Basis zugrunde legt, welche sich aus den lexikographisch angeordneten Paaren von Basisvektoren der am Tensorprodukt beteiligten Vektorräume ergibt: Sind die ausgewählte Basis von und die Basis von , so nehmen wir

als Basis für das Tensorprodukt . Analog für .

Historisches

Das Kronecker-Produkt ist nach Leopold Kronecker benannt, obwohl Georg Zehfuss die Definition des Produktes schon 1858 leistete, weshalb das Kronecker-Produkt manchmal auch Zehfuss-Produkt genannt wird.[2]

Weblinks

Quellen

  1. Willi Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss. Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S. 16
  2. Walter Strobl, "Georg Zehfuss: Sein Leben und seine Werke", online