Kronecker-Paarung

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die Kronecker-Paarung eine Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

Definition

Es sei ein topologischer Raum, eine natürliche Zahl, eine Homologieklasse und eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe . Dann ist die Kronecker-Paarung von und durch

definiert, wobei ein die Kohomologieklasse repräsentierender Kozykel und ein die Homologieklasse repräsentierender Zykel ist.

Man kann zeigen, dass die Kronecker-Paarung wohldefiniert ist, dass also der Wert von nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse repräsentierenden Kozykels oder des die Homologieklasse repräsentierenden Zykels abhängt.

Surjektivität

Aus dem Universellen Koeffiziententheorem folgt, dass der durch die Kronecker-Paarung definierte Homomorphismus

ein Epimorphismus ist.

Literatur

  • Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.