Kriterium von Raabe

Das Raabesche Kriterium oder das Kriterium von Raabe-Duhamel (von Joseph Ludwig Raabe und Jean Marie Constant Duhamel) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung

1. Fassung

Sei eine unendliche Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

mit positiven reellen Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.

Dann ist ${\displaystyle S}$ konvergent, falls die Folge

${\displaystyle \left(\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)n\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

nach oben durch ein ${\displaystyle -\alpha <-1}$ beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als ${\displaystyle -1}$, so ist ${\displaystyle S}$ divergent.

2. Fassung

Sei eine unendliche Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

gegeben.

Dann ist ${\displaystyle S}$ absolut konvergent, falls für eine Zahl ${\displaystyle \beta >1}$ fast immer (d. h. für ${\displaystyle n\geq n_{0}}$) gilt:

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {\beta }{n}}}$.

Sie divergiert jedoch, wenn fast immer ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}}$ ausfällt.

Anmerkungen

Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für fast alle Indizes erfüllt sein. Durch Umstellen führt das Kriterium auf eine Abschätzung von ${\displaystyle S}$ durch

${\displaystyle T=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

nach dem Majorantenkriterium, wobei ${\displaystyle T}$ die Teleskopreihe mit ${\displaystyle b_{n}=c_{n}-c_{n+1}}$ über der Nullfolge ${\displaystyle c_{n}={\frac {n-1}{\alpha -1}}a_{n}}$ ist.

Mit Obigem ergibt sich eine Reihenrest-Abschätzung:

${\displaystyle S-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\leq {\frac {N}{\alpha -1}}a_{N+1}}$.

Anwendbarkeit

Diese Kriterien sind schwerer anzuwenden als das Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium, liefern jedoch in dort ungewissen Fällen oft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, um bei Potenzreihen das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereichs zu bestimmen.

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7