Kriterium von Raabe

Das Raabesche Kriterium oder das Kriterium von Raabe-Duhamel (von Joseph Ludwig Raabe und Jean Marie Constant Duhamel) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung

1. Fassung

Sei eine unendliche Reihe

mit positiven reellen Summanden gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.

Dann ist konvergent, falls die Folge

nach oben durch ein beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als , so ist divergent.

2. Fassung

Sei eine unendliche Reihe

gegeben.

Dann ist absolut konvergent, falls für eine Zahl fast immer (d. h. für ) gilt:

.

Sie divergiert jedoch, wenn fast immer ausfällt.

Anmerkungen

Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für fast alle Indizes erfüllt sein. Durch Umstellen führt das Kriterium auf eine Abschätzung von durch

nach dem Majorantenkriterium, wobei die Teleskopreihe mit über der Nullfolge ist.

Mit Obigem ergibt sich eine Reihenrest-Abschätzung:

.

Anwendbarkeit

Diese Kriterien sind schwerer anzuwenden als das Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium, liefern jedoch in dort ungewissen Fällen oft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, um bei Potenzreihen das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereichs zu bestimmen.

Literatur

  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7