Kriterium von Dirichlet
Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.
Dirichlet-Kriterium für Konvergenz
Kriterium
Die Reihe
mit konvergiert, wenn eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge der Partialsummen
beschränkt ist.[1]
Beweis
Es gilt (siehe Partielle Summation)
- .
Der erste Summand konvergiert gegen null, da voraussetzungsgemäß durch eine Konstante beschränkt ist und gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn für alle und damit
- .
Damit ist alles gezeigt.
Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz
Die Reihe
ist im Intervall gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste monoton.[2]
Siehe auch
- Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall )
- Kriterium von Abel
Einzelnachweise
- ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, IV, Satz 33.14, S. 208/643 S.
- ↑ Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1996, ISBN 3-540-59111-7, S. 342 ff./604 S (Auflage 1964 (Memento vom 11. Januar 2013 im Webarchiv archive.today)).