Krümmungskreis

Der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis genannt) zu einem bestimmten Punkt ${\displaystyle P}$ einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung der Kurve in ${\displaystyle P}$. Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich der Krümmungskreis meist nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung der vorgegebenen Kurve an. Er verläuft auf der einen Seite des Berührungspunktes innerhalb und auf der anderen Seite außerhalb der Kurve ${\displaystyle C}$, er schneidet also die Kurve in einem gewissen Abstand von ${\displaystyle P}$. Nur wenn die Krümmung der Kurve ${\displaystyle C}$ bei dem vorgegebenen Punkt ${\displaystyle P}$ ein Extremum hat, schmiegt sich der Kreis auf einer längeren Strecke der Kurve an die Kurve an und wechselt nicht die Kurvenseite; es gibt dann also keinen Schnittpunkt zwischen Kurve und Krümmungskreis.

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zustreben:

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,}$ gegeben, so ist sein Radius, der Krümmungsradius, gegeben durch

(1) ${\displaystyle \displaystyle r=\left|{\frac {{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}\right|}$.

Der Mittelpunkt ${\displaystyle K=(K_{x}|K_{y})}$ des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

${\displaystyle {\vec {x}}(t)\,+\,r\cdot \|{\vec {x}}'(t)\|^{-1}{\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}\,}$

Dabei muss der Betrag des Radius zur Bestimmung des Mittelpunktes weggelassen werden, damit der Krümmungskreis auf der richtigen Seite der Kurve liegt, d. h.

(2) ${\displaystyle \displaystyle K_{x}=x_{1}(t)-{\frac {x_{2}'(t)\cdot {\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}}$ und

(3) ${\displaystyle \displaystyle K_{y}=x_{2}(t)+{\frac {x_{1}'(t)\cdot {\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}}$.

Der Weg, den die Krümmungskreismittelpunkte beschreiben, bezeichnet man als Evolute der Kurve.

Auch für den Graphen einer Funktion ${\displaystyle f}$ lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Unter der Krümmung der Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{1}=x_{P}}$ versteht man die Krümmung des Graphen der Funktion im Punkte ${\displaystyle {\Big (}x_{P}|f(x_{P}){\Big )}}$. Mit der Transformation ${\displaystyle x_{1}\rightarrow t}$ und ${\displaystyle f(x_{1})\rightarrow f(t)}$ wird die Funktion ${\displaystyle f}$ in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

${\displaystyle {\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}t\\f(t)\end{pmatrix}}\,}$.

Die Ableitungen lauten:

${\displaystyle {\vec {x}}'(t)={\begin{pmatrix}1\\f'(t)\end{pmatrix}}}$   und   ${\displaystyle \displaystyle {\vec {x}}''(t)={\begin{pmatrix}0\\f''(t)\end{pmatrix}}}$.

Damit gilt für den Krümmungsradius ${\displaystyle r(x_{P})}$ eines Funktionsgraphen an der Stelle ${\displaystyle x_{P}}$ nach Einsetzen in (1):

(4)     ${\displaystyle \displaystyle r(x_{P})=\left|{\frac {{\big (}1+f'(x_{P})^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}{f''(x_{P})}}\right|}$.

Für den Mittelpunkt ${\displaystyle (K_{x},K_{y})}$ des Krümmungskreises ergibt sich:

(5)     ${\displaystyle \displaystyle K_{x}=x_{P}-{\frac {f'(x_{P})\,(1+f'(x_{P})^{2})}{f''(x_{P})}}}$

(6)     ${\displaystyle \displaystyle K_{y}=y_{P}+{\frac {1+f'(x_{P})^{2}}{f''(x_{P})}}}$

Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

${\displaystyle {\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\end{pmatrix}}}$

Die Ableitungen betragen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cos(t)=-\sin(t)}$;   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\cos(t)=-\cos(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sin(t)=\cos(t)}$;   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\sin(t)=-\sin(t)}$

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von Eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

Die nebenstehende Animation zeigt den Kreis vom Radius 2, mit konstanter Geschwindigkeit 1 im Uhrzeigersinn durchlaufen. Er hat Parameterdarstellung

${\displaystyle {\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}2\cdot \cos(t/2)\\2\cdot \sin(-t/2)\end{pmatrix}}}$

und konstante Krümmung gleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Sein Krümmungsradius ist konstant gleich 2, das heißt gleich seinem Radius. (Der „Beschleunigungsvektor“ in dieser Animation ist die zweite Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$.)

Für die Normalparabel ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ gilt:

${\displaystyle f'(x)=2\cdot x}$

${\displaystyle f''(x)=2}$

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

${\displaystyle r(x)=\left|{\frac {\left(1+4\cdot x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2}}\right|}$

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x³, die Kurve wird immer gerader.

Die Parameterdarstellung einer Lissajous-Kurve mit Frequenzverhältnis 2:3 lautet

${\displaystyle {\vec {x}}(t)\,=\,{\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{pmatrix}}}$

Die ersten Ableitungen betragen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\begin{pmatrix}-3\sin(3t)\\2\cos(2t)\end{pmatrix}}\,}$

Die zweiten Ableitungen betragen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\,=\,{\begin{pmatrix}-9\cos(3t)\\-4\sin(2t)\end{pmatrix}}\,}$

Setzt man dies in (1) ein und benutzt die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus, so folgt für den Krümmungsradius dieser Lissajous-Kurve:

${\displaystyle r(t)\,=\,{\frac {(232\cos(t)^{4}-97\cos(t)^{2}+13-144\cos(t)^{6})^{3/2}}{6\cos(t)(8\cos(t)^{4}-10\cos(t)^{2}+5)}}\,\,.}$

Die Abbildung zeigt eine Animation des Krümmungskreises. Der „Beschleunigungsvektor“ in dieser Abbildung ist die zweite Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} s^{2}}}}$ von ${\displaystyle {\vec {x}}}$ nach der Bogenlänge ${\displaystyle s}$.

• Klothoide, Krümmungsradius ist umgekehrt proportional zur Kurvenlänge
• Schmiegkugel, eine Verallgemeinerung auf Raumkurven

• Christian Blatter: Analysis 2. Springer, 1974, S. 90–93

Commons: Grafische Illustrationen des Krümmungskreises von Kurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Animierte Illustrationen des Krümmungskreises selbst erstellen (Maple-Worksheet)
• Krümmungsradius und Krümmungskreis, allgemeine Darstellung mit Animation einer Bewegung eines Punktes