Korrespondenzsatz (Gruppentheorie)

Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$ genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler ${\displaystyle N}$ umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet.

Korrespondenzsatz in der Gruppentheorie

Es sei ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern ${\displaystyle N}$. Dann ist die Zuordnung

${\displaystyle U\mapsto \varphi (U)}$

eine Bijektion zwischen der Menge aller ${\displaystyle N}$ umfassenden Untergruppen ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle G}$ auf die Menge aller Untergruppen von ${\displaystyle H}$.

${\displaystyle V\mapsto \varphi ^{-1}(V)}$

ist die Umkehrabbildung.^[1] Die Untergruppen von ${\displaystyle H}$ korrespondieren also eineindeutig zu den Untergruppen von ${\displaystyle G}$, die ${\displaystyle N}$ enthalten. Dabei werden in beiden Richtungen Normalteiler auf Normalteiler abgebildet.

Spezialisiert man diese Aussage auf ${\displaystyle G/N\cong H}$, so erhält man, dass die Untergruppen (bzw. Normalteiler) von ${\displaystyle G/N}$ genau diejenigen der Form ${\displaystyle U/N}$ sind mit einer Untergruppe (bzw. einem Normalteiler) ${\displaystyle N\subset U\subset G}$.^[2]

Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untergruppen ${\displaystyle N\subset U_{1},U_{2}\subset G}$ gilt ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle U_{1}/N\subset U_{2}/N}$.

Folgerung: Ein Normalteiler ${\displaystyle N}$ ist genau maximal unter allen Normalteilern von ${\displaystyle G}$, wenn ${\displaystyle G/N}$ einfach ist.^[3]

Korrespondenzsatz in der Ringtheorie

Es seien ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$ ein zweiseitiges Ideal. Dann ist die Zuordnung

${\displaystyle {\mathfrak {b}}\mapsto {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}}$

eine Bijektion von der Menge aller ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ umfassenden Linksideale auf die Menge der Linksideale in ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$. Diese Zuordnung is monoton, das heißt für Linksideale ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}},{\mathfrak {b'}}\subset R}$ gilt ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {b'}}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b'}}/{\mathfrak {a}}}$^[4][5][6]

Korrespondenzsatz für Moduln

Es seien ${\displaystyle M}$ ein Links-R-Modul und ${\displaystyle T\subset M}$ ein Untermodul. Dann ist die Zuordnung

${\displaystyle S\mapsto S/T}$

eine Bijektion von der Menge aller ${\displaystyle T}$ umfassenden Untermoduln ${\displaystyle S\subset M}$ auf die Menge aller Untermoduln von ${\displaystyle M/T}$. Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untermoduln ${\displaystyle T\subset S,S'\subset M}$ gilt ${\displaystyle S\subset S'}$ genau dann, wenn ${\displaystyle S/T\subset S'/T}$.^[7]

Einzelnachweise

1. ↑ Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Satz 4.13 (Korrespondenzsatz)
2. ↑ D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Kapitel 1.4, Seite 20, Subgroups of the Image
3. ↑ Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Lemma 11.2
4. ↑ Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press Inc. (1979), ISBN 978-0-12-599250-3, Satz 2.15 (Correspondence Theorem for Rings)
5. ↑ Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra, Gabler-Verlag (2013), ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel II.2.4, Korrespondenzsatz für Ideale
6. ↑ Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Satz 15.14 (Korrespondenzsatz)
7. ↑ Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press Inc. (1979), ISBN 978-0-12-599250-3, Satz 2.14 (Correspondence Theorem)