Konvexität (Finanzmathematik)

Konvexität ist eine Kennzahl aus der Finanzmathematik zur Beschreibung des Verhaltens einer Anleihe bei Zinsänderungen. Es ist eine Erweiterung bzw. Verbesserung der Duration und – wie diese – nur eine Schätzung der Änderung des Barwertes.

Der Verlauf des Barwertes von Anleihen im Falle von Zinsänderungen ist konvex. Da die Duration lediglich die erste Ableitung – also die Steigung – berücksichtigt, ist sie nur für kleine Zinsänderungen zu gebrauchen bzw. wird umso ungenauer, je größer die Zinsänderung ausfällt.

Die Konvexität berücksichtigt auch die zweite Ableitung – die Krümmung – und ist daher eine genauere Annäherung an die tatsächliche Wertveränderung. Die Formel zur Berechnung der Konvexität lautet:

${\displaystyle C={\frac {P_{0}(i_{0})''}{P_{0}(i_{0})}},}$

wobei P₀ den Wert der Anleihe zum Zeitpunkt 0 darstellt und i₀ den entsprechenden Zinssatz.

Ist P₀(i₀) beispielsweise

${\displaystyle c\cdot (1+i)^{-1}+c\cdot (1+i)^{-2}+(c+N)\cdot (1+i)^{-3}}$

mit N = Nominale, c = Kupon und i = Zinssatz, so ist die erste Ableitung in diesem Fall

${\displaystyle -c\cdot (1+i)^{-2}-2c\cdot (1+i)^{-3}-3\cdot (c+N)\cdot (1+i)^{-4}}$

und die zweite Ableitung

${\displaystyle 2c\cdot (1+i)^{-3}+6c\cdot (1+i)^{-4}+12\cdot (c+N)\cdot (1+i)^{-5}.}$

Die Veränderung des Barwertes einer Anleihe nach dem Prinzip der Konvexität erfolgt folgendermaßen:

${\displaystyle \mathrm {d} P/P=-D\cdot \mathrm {d} Y+1/2\cdot C\cdot \mathrm {d} Y^{2},}$

wobei

D = Modifizierte Duration

P = Preis (inkl. Stückzins, sog. „dirty price“) der Anleihe

dP = Veränderung dieses Preises

dY = Zinsänderung, z. B. 0,005 bei einer Änderung von 50 Basispunkten (100 Basispunkte = 1 %)

C = Konvexität (Convexity)