Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen als benachbart oder contiguous bezeichnet, wenn sie asymptotisch denselben Träger haben. Somit erweitert der Begriff der Kontiguität (auch Benachbartheit oder contiguity) den Begriff der absoluten Stetigkeit von Maßen.^[1]

Das Konzept wurde ursprünglich von Lucien Le Cam 1960 im Rahmen seiner Beiträge zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.^[2]

Motivation

Der Satz von Radon-Nikodým verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Maße:

Für ein σ-endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und ein σ-endliches signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$, das absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist (${\displaystyle \nu \ll \mu }$), existiert eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, so dass

${\displaystyle \nu (E)=\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$ für alle ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ gilt.

In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Maßen (${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$) Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle ((P_{n})_{n\in I}}$ und ${\displaystyle (Q_{n})_{n\in I})}$ untersucht. Um den obigen Satz für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu definieren, muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguität für diese Folgen verallgemeinert werden.

Man nennt ein Maß ${\displaystyle Q}$ bezüglich ${\displaystyle P}$ absolut stetig (in Symbolen ${\displaystyle Q\ll P}$), falls für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle P(A)=0}$ impliziert, dass ${\displaystyle Q(A)=0}$ gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes ${\displaystyle P}$ im Träger eines weiteren Maßes ${\displaystyle Q}$ enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von ${\displaystyle Q_{n}}$ ist für große ${\displaystyle n}$ im Träger von ${\displaystyle P_{n}}$ enthalten.

Definition

Es sei ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ ausgestattet.

• Die Folge ${\displaystyle Q_{n}}$ heißt benachbart zu ${\displaystyle P_{n}}$ (in Symbolen ${\displaystyle Q_{n}\vartriangleleft P_{n}}$), falls für jede Folge ${\displaystyle A_{n}}$ von messbaren Mengen, ${\displaystyle P_{n}(A_{n})\rightarrow 0}$ impliziert, dass ${\displaystyle Q_{n}(A_{n})\rightarrow 0}$.
• Die Folgen ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ heißen wechselseitig benachbart oder bi-contiguous (in Symbolen ${\displaystyle Q_{n}\vartriangleleft \vartriangleright P_{n}}$), falls ${\displaystyle Q_{n}}$ benachbart zu ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ benachbart zu ${\displaystyle Q_{n}}$.^[3]

Eigenschaften

• Im Fall ${\displaystyle (P_{n},Q_{n})=(P,Q)}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt: ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}\Leftrightarrow Q\ll P}$.^[4]
• Es ist möglich, dass ${\displaystyle P_{n}\ll Q_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, ohne dass ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$ ist.^[5]

Le Cams erstes Lemma

Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ sind folgende Aussagen equivalent:^[6][7][8]

• ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow P(U>0)=1}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow E(V)=1}$
• ${\displaystyle T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0}$ für alle Teststatistiken ${\displaystyle T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

wobei ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ Zufallsvariablen auf den Wahrscheinlichkeitsräumen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ bzw. }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)}$ sind.

Die Notation ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U}$ bezeichnet die Konvergenz in Verteilung.

Le Cams drittes Lemma

Das dritte Lemma von Le Cam ist eine Version des Satzes von Radon-Nikodým, in dem die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt wird, es ist gegeben durch:^[9]

Theorem

Sei ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}}$ mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ und ${\displaystyle X_{n}:\Omega _{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte ${\displaystyle \left(X_{n},{\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}\right){\overset {P_{n}}{\to }}(X,V)}$.
Dann definiert ${\displaystyle L(B):=E(1_{B}(X)V)}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}^{k})}$ mit ${\displaystyle \int f\ \mathrm {d} L=E(f(X)V)}$ für jede messbare Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ und es gilt ${\displaystyle X_{n}{\overset {Q_{n}}{\to }}L}$.

Für die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar:

Korollar

Seien ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$, und sei ${\displaystyle X_{n}:\Omega _{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte
${\displaystyle \left(X_{n},\log {\frac {dQ_{n}}{dP_{n}}}\right)\quad {\overset {P_{n}}{\to }}\quad {\mathcal {N}}_{k+1}\left({\begin{pmatrix}\mu \\-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\Sigma &\tau \\\tau '&\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right).}$
Dann gilt: ${\displaystyle X_{n}{\overset {Q_{n}}{\to }}{\mathcal {N}}_{k}(\mu +\tau ,\Sigma )}$.

Anwendungen

• Ökonometrie^[10]

Literatur

• George G. Roussas (2001) [1994], "Contiguity of probability measures", Encyclopaedia of Mathematics, EMS Press
• George G. Roussas (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
• D.J. Scott (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.
• Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-322-90152-1, S. 291 ff. 
• Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák (1967). Theory of rank tests. New York: Academic Press.
• Erich Leo Lehmann, Joseph Paul Romano (2008), Testing Statistical Hypotheses. Springer New York.
• Aad van der Vaart (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
• Lucien Le Cam (1960). "Locally asymptotically normal families of distributions". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfowitz J. (1974) Review of the book: "Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics. by George G. Roussas", Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor
2. ↑ Aad van der Vaart: The statistical work of Lucien Le Cam. In: The Annals of Statistics. Band 30, Nr. 3, 1. Juni 2002, ISSN 0090-5364, doi:10.1214/aos/1028674836 (projecteuclid.org [abgerufen am 1. Mai 2021]). 
3. ↑ van der Vaart (1998, S. 87)
4. ↑ Reiß, Bemerkung 4.35
5. ↑ Bartlett, S. 12
6. ↑ Gutti Jogesh Babu und Bing Li: A Revisit to Le Cam’s First Lemma. In: The Indian Journal of Statistics. Pennsylvania State University, 26. Februar 2020, abgerufen am 10. Januar 2022. 
7. ↑ Reiß, Lemma 4.36
8. ↑ Lucien M. Le Cam: Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96307-3 (OCLC=13457116 [abgerufen am 1. Mai 2021]). 
9. ↑ Bartlett, S. 20
10. ↑ course nov14. (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 11. Oktober 2008; abgerufen am 12. November 2009.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.samsi.info 

Weblinks

• Markus Reiß: Mathematische Statistik, Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2018. Humboldt-Universität zu Berlin, 17. Juli 2018, S. 48 ff; abgerufen am 7. Januar 2022. 
• Peter Bartlett: Theoretical Statistics. Lecture 21. University of California, Berkeley, 2013, abgerufen am 14. Januar 2022. 
• Moulinath Banerjee: Superefficiency, Contiguity, LAN, Regularity, Convolution Theorems. University of Michigan, 6. Dezember 2006; abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch). 
• K. Behnen, G. Neuhaus: A Central Limit Theorem under Contiguous Alternatives. Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, 1975; abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch). 
• W. J. Hall und R. M. Loynes: On the Concept of Contiguity. In: The Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics, 1. August 1975; abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch). 
• Reinhard Höpfner: Benachbartheit. Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 29. Mai 2008; abgerufen am 7. Januar 2022. 
• David Pollard: Contiguity Asymptopia. (Nicht mehr online verfügbar.) Yale University, 17. Oktober 2000, archiviert vom Original; abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch). 
• Krishen Mehra: Asymptotic normality under contiguity in a dependence case. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Department of Mathematics, University of Alberta, 7. August 1967; abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch).