Konforme Abbildung

Ein rechtwinkliges Netz und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung . Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich ebenfalls unter 90° schneiden.

Eine konforme Abbildung ist eine winkeltreue Abbildung.

Das bedeutet, dass aus einem rechtwinkligen Koordinatennetz durch eine konforme Abbildung zwar ein im Allgemeinen krummliniges Koordinatennetz entsteht, dass aber „im Kleinen“ die rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, also insbesondere die Zwischenwinkel und die Längenverhältnisse je zweier beliebiger Vektoren.

Solche Abbildungen finden vielfache Anwendungen in der theoretischen Physik, u. a. in der Theorie komplizierter elektrostatischer Potentiale und der zugehörigen elektrostatischen Felder sowie in der Strömungsmechanik.

Definition

Eine lineare Abbildung heißt konform, wenn sie bijektiv ist, wenn für alle mit und

gilt und wenn ihre Determinante positiv ist. (Ist sie negativ, so heißt stattdessen anti-konform). Hierbei ist das Standardskalarprodukt und die euklidische Norm. Mit anderen Worten erhalten (lineare) konforme oder anti-konforme Abbildungen den Betrag des Winkels zwischen zwei beliebigen Vektoren; während eine konforme die Orientierung des Winkels erhält, kehrt sie eine anti-konforme um.

Des Weiteren heißt für eine differenzierbare Abbildung konform in einem Häufungspunkt von , wenn ihr Differential in konform ist.

Wird in der obigen Definition einer konformen linearen Abbildung auf die Forderung, dass die Orientierung erhalte, also die Determinante positiv sei, verzichtet und die Annahme der Bijektivität durch die der Injektivität ersetzt, ergibt die Definition auch für Abbildungen mit einen Sinn. Allgemeiner können dann auch beliebige Innenprodukträume als Definitions- und Zielbereich zugelassen werden (die durchaus unendlich-dimensional sein dürfen). Handelt es sich sogar um Hilberträume, ergibt auch die Definition nicht notwendigerweise linearer konformer Abbildungen Sinn, wenn das Differential im Sinne der Fréchet-Ableitung verstanden wird.

Eigenschaften

Physikalische Anwendungen

Tragflügel und Kreis hängen durch eine konforme Abbildung zusammen

Die nebenstehende Abbildung zeigt an einem Beispiel aus dem „Flugzeugbau“, dass durch die konforme Abbildung komplizierte Kurven auf wesentlich einfachere Kurven abgebildet werden können. Das abgebildete Beispiel einer konformen Abbildung ist die Joukowski-Funktion (auch „Schukowski-Funktion“ geschrieben). Bei dieser Abbildung wird das Joukowski-Profil auf einen Kreis abgebildet. Die Geschwindigkeit, mit der etwa Luftteilchen das (zweidimensionale) Tragflügel-Profil umströmen, wird einfacher berechenbar, wenn es um die Umströmung eines Kreiszylinders geht. Damit wird plausibel, dass die konformen Abbildungen in folgenden Gebieten eine wichtige Bedeutung haben, solange man Phänomene in der zweidimensionalen Ebene untersucht:

Invarianz unter konformen Abbildungen

Im Falle des -dimensionalen Minkowski-Raumes gilt: Die Zusammenhangskomponente der 1 von der Gruppe der orientierungstreuen konformen Transformationen ist isomorph zur Gruppe , wenn gilt. Für ist diese Gruppe unendlichdimensional. Sie ist isomorph zu , wobei die unendlichdimensionale Gruppe der orientierungstreuen Diffeomorphismen von auf sich bezeichnet.

Im Falle des -dimensionalen euklidischen Raumes ist die entsprechende Gruppe isomorph zu , . Im Falle ist sie daher auch isomorph zur Gruppe der Möbiustransformationen.

Physikalische Systeme, die unveränderlich unter konformen Abbildungen sind, haben eine große Bedeutung in der Festkörperphysik, in der Stringtheorie und in der konformen Feldtheorie.

Konforme Abbildungen auf (semi-)riemannschen Mannigfaltigkeiten

Seien und zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten bzw. semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die Funktionen und bezeichnen die metrischen Tensoren. Zwei Metriken und auf einer Mannigfaltigkeit heißen in der riemannschen Geometrie „konform äquivalent“, falls mit einer auf definierten positiven Funktion , die konformer Faktor genannt wird. Die Klasse konform äquivalenter Metriken auf heißt konforme Struktur.

Ein Diffeomorphismus heißt konform, falls für alle Punkte und Vektoren des Tangentialraumes gilt. Man drückt das auch so aus, dass die Pullback-Metrik auf konform äquivalent zur Metrik von ist. Die Potenz soll andeuten, dass der Faktor stets größer als 0 ist, dass es sich also um einen konformen Faktor handelt. Ein Beispiel einer konformen Abbildung ist die stereographische Projektion der Kugeloberfläche auf die projektive Ebene (Ebene ergänzt durch einen Punkt im Unendlichen).

Die konformen Abbildungen einer Mannigfaltigkeit in sich selbst werden von konformen Killing-Vektorfeldern erzeugt.

Literatur

Commons: Conformal mapping – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. Friedrich Hund: Theoretische Physik. 3 Bände, Stuttgart Teubner, zuerst 1956–1957, Band 2: Theorie der Elektrizität und des Lichts, Relativitätstheorie. 4. Auflage, 1963.

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Zhukovsky transform.svg
Autor/Urheber: Karsten Adam (Diskussion), Lizenz: CC BY-SA 3.0
Ein Strömungsprofil nach Schukowski Transformation mit erklärender Grafik der verwendeten Parameter.