Komplexes Volumen

In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.

Definition

Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens wird das komplexe Volumen definiert als

,

wobei das hyperbolische Volumen und die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen das komplexe Volumen definieren als

,

wobei das flache Bündel mit Holonomie ,

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und

die Fundamentalklasse von ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten die Gleichung

,

wobei das -te gefärbte Jones-Polynom von bezeichnet.

Literatur

  • S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf
  • W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf