Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich ${\displaystyle n.}$ Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Gerade (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition

Ist ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$, dann wird die Kodimension von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$ durch

${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim(V/U),}$

also als die Dimension des Faktorraums ${\displaystyle V/U}$, definiert.

Eigenschaften

• Es gilt stets

${\displaystyle \dim U+\operatorname {codim} (U,V)=\dim V.}$

Ist ${\displaystyle V}$ endlichdimensional, so ist also

${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim V-\dim U.}$

• Ist ${\displaystyle W}$ ein Komplementärraum von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$, d. h. ${\displaystyle U\oplus W=V}$, so ist

${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim W.}$

• Sind ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subseteq V}$ zwei Unterräume, so gilt stets

${\displaystyle \operatorname {codim} (U_{1}\cap U_{2},V)\leq \operatorname {codim} (U_{1},V)+\operatorname {codim} (U_{2},V).}$

• Sind ${\displaystyle U,W\subseteq V}$ Unterräume, so gilt

${\displaystyle \operatorname {codim} (U\cap W,W)=\operatorname {codim} (U,U+W)\leq \operatorname {codim} (U,V).}$

Beispiele

Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

Literatur

• V. E. Govorov, A. F. Kharshiladze: Codimension. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).