Knödel-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl eine zusammengesetzte Zahl mit der Eigenschaft, dass alle zu teilerfremden die Kongruenz erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von wird mit bezeichnet.

Die Spezialfälle sind die Carmichael-Zahlen.

Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl zu . Mit ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.

Beispiele

Beispiel 1:

Sei und

Dann sind die Zahlen und zu teilerfremd. Es gilt:

Somit erfüllen alle zu teilerfremden Zahlen die Kongruenz .

Also ist eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt .

Beispiel 2:

Sei und

Dann sind die Zahlen und zu teilerfremd. Es gilt:

Somit erfüllen nicht alle zu teilerfremden Zahlen die Kongruenz .

Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei abbrechnen können. Also ist keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt .

Beispiel 3:

Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen bis :

nKn
1{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … }Folge A002997 in OEIS
2{4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … }Folge A050990 in OEIS
3{9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … }Folge A033553 in OEIS
4{6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … }Folge A050992 in OEIS
5{25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, … }Folge A050993 in OEIS
6{8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, … }Folge A208154 in OEIS
7{15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, … }Folge A208155 in OEIS
8{12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, … }Folge A208156 in OEIS
9{21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, … }Folge A208157 in OEIS
10{12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, … }Folge A208158 in OEIS

Literatur

  • Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag, New York 1989, ISBN 978-0-387-94457-9, S. 101.
  • A. Makowski: Generalization of Morrow’s D-Numbers. 1963, S. 71.