Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt. Sie ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

Definition

Sei ${\displaystyle C}$ eine Kategorie und ${\displaystyle M=(T,\mu ,\eta )}$ eine Monade, mit ${\displaystyle T\colon C\to C}$ als Endofunktor und ${\displaystyle \mu \colon T^{2}\to T}$, ${\displaystyle \eta \colon 1\to T}$ als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle M}$ gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als ${\displaystyle C_{M}}$ bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

• ${\displaystyle \operatorname {Ob} (C_{M})=\operatorname {Ob} (C)}$, sowie
• ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{C_{M}}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{C}(X,T(Y))}$.

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

• ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}=\eta _{A}}$ und
• ${\displaystyle f\circ _{C_{M}}g=\mu \circ _{C}T(f)\circ _{C}g}$.

Beispiele

• Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, mit ${\displaystyle {\mathcal {P}}(f)(A)=\{f(a)|a\in A\}}$.

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.