Kleeblattschlinge

Kleeblattschlinge

Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.

Parametrisierung und Invarianten

Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:

Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.[1]

Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist

und ihr Jones-Polynom ist

oder

je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die Knotengruppe hat die Präsentierung

und ist damit isomorph zur Zopfgruppe .

Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu , also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe .

Symmetrie

Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.[2]

In der Kunst

Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.

Galerie

Literatur

Weblinks

Commons: Trefoil knots – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. uni-math.gwdg.de (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.
  2. cut-the-knot.org über Achtknoten Aufgerufen am 3. Mai 2012.

Auf dieser Seite verwendete Medien

Triquetra-tightly-knotted.svg

A tightly-knotted form of the Triquetra.

For a version with straight lines (not partial circular arcs), see Image:Valknut-Symbol-triquetra.svg. For curved versions of the triquetra which are not tightly knotted, see Image:Triquetra-Interlaced-Triangle-Circle.svg , Image:Triquetra-Vesica.svg , Image:Triquetra-Vesica-solid.png , Image:Triquetra-Double.svg , and Image:Triquetra-circle-interlaced.svg .
Trefoil knot left.svg
This is the mirror image of TrefoilKnot-01.pngTrefoilKnot-01.png
Superfície - bordo trifólio.jpg
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Orientable surface whose boundary is the trefoil knot, Matemateca IME-USP collection.
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Metallic Valknut black background.PNG
Metallic style Valknut on black background. In this version of the Valknut, the triangles are interlinked as a Trefoil knot.
Blue Trefoil Knot.png
A trefoil knot.
TrefoilKnot 01.svg
A Right-handed trefoil knot
Superfície não orientável - Bordo trifólio.jpg
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Mathematical non-orientable surface which the boundaries are the trefoil knot in different angles, object is part of the Matemateca (IME/USP) collection.
Triquetra-Vesica.svg

A form of the Triquetra symbol which has the exact geometrical proportions to be composed of three overlapping Vesica piscis symbols — something which is important to a few authors of books on Christian symbolism. (Ribbons version.) For other versions of the triquetra, see also Image:Triquetra-Vesica-solid.png , Image:Triquetra-Double.png , Image:Triquetra-Interlaced-Triangle-Circle.png , Image:Triquetra-tightly-knotted.png , and Image:Triquetra-circle-interlaced.png .

The six curve-intersection points define four small equilateral triangles, which make up one large equilateral triangle.