Kiepert-Hyperbel

Kiepert-Hyperbel mit Dreieckszentren

(c) Fvlamoen, CC-BY-SA-3.0

Ein Kiepert-Dreieck (rot) mit Perspektivitätszentrum

An den Seiten eines Dreiecks ABC werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck, das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird (nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Kiepert).

Die Kiepert-Hyperbel ist der geometrische Ort aller Perspektivitätszentren von Kiepert-Dreiecken des Dreiecks ABC. Es handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:

• die Ecken des gegebenen Dreiecks,
• den Höhenschnittpunkt,
• den Schwerpunkt,
• den Spieker-Punkt,
• die beiden Napoleon-Punkte,
• die beiden Fermat-Punkte,
• die beiden Vecten-Punkte.

Bezeichnungen und Koordinaten

Der Basiswinkel ${\displaystyle \phi }$ der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\phi }}$ bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit ${\displaystyle K_{\phi }}$.

Baryzentrische Koordinaten von ${\displaystyle K_{\phi }}$ (unter Verwendung der Conway-Dreiecksnotation):

${\displaystyle \left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi }}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi }}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi }}}\right)}$

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})yz+(c^{2}-a^{2})xz+(a^{2}-b^{2})xy=0.\,}$

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2},\,}$

die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).

Eigenschaften

• Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.

Literatur

• R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205

Weblinks

Commons: Kiepert's hyperbola – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Kiepert Hyperbola. In: MathWorld (englisch).