Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder ${\displaystyle R}$-Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

${\displaystyle C_{n},\,n\in \mathbb {Z} }$

von ${\displaystyle R}$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

${\displaystyle d_{n}\colon C_{n}\rightarrow C_{n-1}}$

von ${\displaystyle R}$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$

für alle n gilt. Der Operator ${\displaystyle \mathrm {d} _{n}}$ heißt Randoperator. Elemente von ${\displaystyle C_{n}}$ heißen n-Ketten. Elemente von

${\displaystyle Z_{n}(C,d):=\ker d_{n}\subseteq C_{n}}$ bzw. ${\displaystyle B_{n}(C,d):=\mathop {\operatorname {im} } d_{n+1}\subseteq C_{n}}$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung ${\displaystyle d_{n}d_{n+1}=0}$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

${\displaystyle H_{n}(C,d):=Z_{n}(C,d)/B_{n}(C,d)}$

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von ${\displaystyle (C,d)}$, ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

${\displaystyle C^{n},\,n\in \mathbb {Z} }$

von ${\displaystyle R}$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

${\displaystyle d^{n}\colon C^{n}\rightarrow C^{n+1}}$

von ${\displaystyle R}$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

${\displaystyle d^{n}\circ d^{n-1}=0}$

für alle n gilt. Elemente von ${\displaystyle C^{n}}$ heißen n-Koketten. Elemente von

${\displaystyle Z^{n}:=\ker d^{n}\subseteq C^{n}}$ bzw. ${\displaystyle B^{n}:=\operatorname {im} d^{n-1}\subseteq C^{n}}$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung ${\displaystyle d^{n}d^{n-1}=0}$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

${\displaystyle H^{n}(C,d):=Z^{n}(C,d)/B^{n}(C,d)}$

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von ${\displaystyle (C,d)}$, ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Ein Doppelkomplex^[1]  ${\displaystyle D_{**}}$  in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht  ${\displaystyle D_{**}}$  aus Objekten

${\displaystyle D_{p,q}\in \operatorname {ob} A\,,\quad p,q\in \mathbb {Z} }$

zusammen mit Morphismen

${\displaystyle D_{p,q}{\xrightarrow {d}}D_{p-1,q}}$   und   ${\displaystyle D_{p,q}{\xrightarrow {d'}}D_{p,q-1}\quad \forall \,p,q\in \mathbb {Z} }$

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

${\displaystyle d\circ d=0\quad d'\circ d'=0\quad d\circ d'+d'\circ d=0\,.}$

Der Totalkomplex  ${\displaystyle \operatorname {Tot} (D)_{*}}$  des Doppelkomplex  ${\displaystyle D_{**}}$  ist der Kettenkomplex gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {Tot} (D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}D_{p,q}}$

mit der folgenden Randabbildung: für  ${\displaystyle x\in D_{p,q}}$  mit  ${\displaystyle p+q=n}$  ist

${\displaystyle d_{n}(x)=d(x)+d'(x)\in D_{p-1,q}\oplus D_{p,q-1}\subseteq \operatorname {Tot} (D)_{n-1}\,.}$

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(M,N)}$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.^[2]

• Ein Kettenkomplex ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ist genau dann exakt an der Stelle ${\displaystyle i}$, wenn ${\displaystyle H_{i}(C_{\bullet },d_{\bullet })=0}$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

• Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Eine Funktion

${\displaystyle f\colon (A_{\bullet },d_{A,\bullet })\to (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}}$ besteht, welche mit dem Randoperator ${\displaystyle d}$ vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

${\displaystyle d_{B}^{n}\circ f_{n}=f_{n+1}\circ d_{A}^{n}}$.

Diese Bedingung stellt sicher, dass ${\displaystyle f}$ Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Es sei ${\displaystyle (C,d)}$ ein Kokettenkomplex aus ${\displaystyle R}$-Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

${\displaystyle \chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}\mathrm {H} ^{i}(C,d)\in \mathbb {Z} .}$

Sind auch die einzelnen Komponenten ${\displaystyle C^{i}}$ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

${\displaystyle \chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}C^{i}\in \mathbb {Z} .}$

Im Spezialfall eines Komplexes ${\displaystyle C^{0}\to C^{1}}$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten ${\displaystyle C^{i}}$ nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von ${\displaystyle R}$ zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

${\displaystyle \chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}[C^{i}]\in K_{0}(R).}$^[3]

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn ${\displaystyle R}$ ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle [R^{n}]\,{\widehat {=}}\,n}$. Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

• Simplizialkomplex
• Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
• Gruppen(ko)homologie.
• Jeder Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to B}$ definiert einen Kokettenkomplex

${\displaystyle (C,d)=(\ldots \to 0\to 0\to A\to B\to 0\to 0\to \ldots ).}$

Legt man die Indizes so fest, dass sich ${\displaystyle A}$ in Grad 0 und ${\displaystyle B}$ in Grad 1 befindet, so ist

${\displaystyle H^{0}(C,d)=\ker f}$ und ${\displaystyle H^{1}(C,d)=\operatorname {coker} f.}$

Die Euler-Charakteristik

${\displaystyle \dim \ker f-\dim \operatorname {coker} f}$

von ${\displaystyle (C,d)}$ wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von ${\displaystyle f}$ genannt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {coker} f}$ den Kokern von ${\displaystyle f}$.

• Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

• Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

1. ↑ S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5. 
2. ↑ Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5. 
3. ↑ J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31