Kerr-Newman-Metrik

Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von elektrisch geladenen, rotierenden Schwarzen Löchern. Wird die komplexe Transformation ${\displaystyle r\to r+i\ a\cos \theta }$, die von der Schwarzschild-Metrik zur Kerr-Lösung führt, auf die Reissner-Nordström-Metrik angewendet, führt dies zur Kerr-Newman-Lösung.^[1][2]

Linienelement

Das Linienelement hat in Boyer-Lindquist-Koordinaten die Form^[3][4]:

${\displaystyle {\mathrm {d} \tau }^{2}=\left({\frac {r_{\rm {s}}r-Q^{2}}{\Sigma }}-1\right)\mathrm {d} t^{2}\ +}$ ${\displaystyle \ {\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}\ +\ \Sigma \ \mathrm {d} \theta ^{2}\ +\ {\frac {\chi }{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}\ +\ {\frac {2a\ (Q^{2}-r_{\rm {s}}r)\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi }$

Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur ${\displaystyle \left(+,-,-,-\right)}$ und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-r_{\rm {s}}r+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\\chi &:=\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \ \Delta \\a&:=J/M\end{aligned}}}$

dabei bezeichnen ${\displaystyle M}$ das Massenäquivalent (inklusive Ladungs- und Rotationsenergie) des zentralen Körpers, ${\displaystyle Q}$ die elektrische Ladung und ${\displaystyle J}$ den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl in der Relativitätstheorie üblicher natürlicher Einheiten mit ${\displaystyle G=c=K=1}$ (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse ${\displaystyle M}$, elektrische Ladung ${\displaystyle Q}$ und Drehimpulsparameter ${\displaystyle a}$ die gleiche Dimension wie eine Länge.^[5] ${\displaystyle r_{s}=2M}$ ist der Schwarzschild-Radius.

Die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$ steht mit dem totalen, auch als die gravitierende Masse bezeichneten Massenäquivalent ${\displaystyle M}$ im Verhältnis^[6]

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}}}}}\ \to \ M={\sqrt {\frac {16M_{\rm {irr}}^{4}+8M_{\rm {irr}}^{2}\ Q^{2}+Q^{4}}{16M_{\rm {irr}}^{2}-4a^{2}}}}}$

Da einem statischen und neutralen Objekt, das in Rotation versetzt oder elektrisch aufgeladen werden soll, Energie hinzugefügt werden muss, und diese Energie aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie selbst zu einer Masse äquivalent ist, ist das Massenäquivalent eines rotierenden und/oder geladenen Körpers dementsprechend höher, als wenn dieser sich neutral in Ruhe befindet. Einem schwarzen Loch kann mithilfe des Penrose-Prozesses^[3][7] zwar Energie und damit auch Massenäquivalent entzogen werden, jedoch nicht so viel, dass am Ende weniger als die irreduzible Masse (die eines entsprechenden Schwarzschild-Lochs) übrigbleiben würde.

Die ko- und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit

${\displaystyle {g_{tt}={\frac {r\ r_{\rm {s}}-Q^{2}}{\Sigma }}-1\ \to \ g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }}}}$

${\displaystyle {g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }}\ \to \ g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }}\ ,\ \ g_{\theta \theta }=\Sigma \ \to \ g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }}}}$

${\displaystyle {g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \to \ g^{\phi \phi }={\frac {\Sigma \csc ^{4}\theta \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}+\Sigma \right)}{a^{2}\left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}\right)^{2}+\chi \csc ^{2}\theta \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}+\Sigma \right)}}}}$

${\displaystyle {g_{t\phi }={\frac {a\sin ^{2}\theta (Q^{2}-r\ r_{\rm {s}})}{\Sigma }}\ \to \ g^{t\phi }={\frac {a\Sigma (Q^{2}-r\ r_{\rm {s}})}{a^{2}\sin ^{2}\theta \ \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}\right)^{2}+\chi \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}+\Sigma \right)}}}}$

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches ${\displaystyle (Q=0)}$ vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches ${\displaystyle (J=0)}$ ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt ${\displaystyle (Q=J=0)}$ die Schwarzschild-Metrik.

Ergosphäre und Ereignishorizont

Ereignishorizonte und Ergosphären. a²+Q² läuft in pseudosphärischen r,θ,φ-Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x,y,z-Koordinaten von 1 bis 0.

Für den äußeren Ereignishorizont bei ${\displaystyle r_{H}^{+}}$ und den inneren, auch Cauchy-Horizont genannt, bei ${\displaystyle r_{H}^{-}}$, ergibt sich, indem ${\displaystyle \Delta =0}$ gesetzt und nach ${\displaystyle r}$ aufgelöst wird ein Boyer-Lindquist-Radius von^[4]

${\displaystyle r_{H}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}-Q^{2}}}}$

und für die innere und äußere Ergosphäre

${\displaystyle r_{E}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta -Q^{2}}}}$

Bei ${\displaystyle a^{2}+Q^{2}\geq M^{2}}$ würde sich der Horizont auflösen, und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben. Körper mit einem höheren Spin können daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzugeben und/oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralisieren.^[8][9][10]

Bewegungsgleichungen

Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden und stark geladenen zentralen Masse (a/M=0,9, Q/M=0,4)

Mit dem elektromagnetischen Potential^[11][12]

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ Q}{\Sigma }},\ 0,\ 0,-{\frac {a\ r\ Q\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)}$

und dem daraus resultierenden Maxwell-Tensor

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }}$

ergeben sich über

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}}}$

die Bewegungsgleichungen^[13][14] eines freifallenden Testpartikels; diese lauten in den dimensionslosen natürlichen Einheiten ${\displaystyle G=M=c=K=1}$, womit sich ${\displaystyle Jc/(M^{2}G)}$ auf ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle Q/M\cdot {\sqrt {K/G}}}$ auf ${\displaystyle Q}$ reduziert, und Längen in ${\displaystyle GM/c^{2}}$ sowie Zeiten in ${\displaystyle GM/c^{3}}$ gemessen werden:

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}{\Delta \Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=\pm {\frac {\sqrt {((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\pm {\frac {\sqrt {C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})/\sin \theta }}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma \ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}}$

mit ${\displaystyle E}$ für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), ${\displaystyle L_{z}}$ für den spezifischen axialen Drehimpuls und ${\displaystyle q}$ für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. ${\displaystyle C}$ ist dabei die Carter-Konstante:

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(1-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (1-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta }$

mit den kanonischen spezifischen Impulskomponenten^[13]

${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu }+q\ A_{\mu }}$,

wobei ${\displaystyle p_{t}=-E}$, ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \Sigma }$ die poloidale Komponente des Bahndrehimpulses und ${\displaystyle \delta }$ der orbitale Inklinationswinkel ist. Der axiale Drehimpuls

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }={\frac {{\dot {\phi }}\ \chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}-{\frac {{\dot {t}}a\sin ^{2}\theta \left(2r-Q^{2}\right)}{\Sigma }}}$

und die Gesamtenergie des Testpartikels

${\displaystyle E=|g_{tt}|\ {\dot {t}}+|g_{t\phi }|\ {\dot {\phi }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1-v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}$

sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung.

${\displaystyle \Omega =\left|{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}\right|={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

ist dabei die durch Frame-Dragging induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters.

Die Eigenzeitableitungen der Koordinaten ${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$ stehen mit der lokalen 3er-Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$, die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird, in dem Verhältnis

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}=v^{i}/{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}-{\dot {t}}\ g_{ti}/g_{ii}}$.

Damit ergibt sich für die einzelnen Komponenten

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma \ (1-v^{2})}{\Delta }}}}$

für die radiale,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\Sigma \ (1-v^{2})}}}$

für die poloidale,

${\displaystyle v^{\phi }={\frac {L_{z}{\sqrt {1-v^{2}}}}{\bar {R}}}}$

für die axiale und

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \Sigma }{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}}$

für die insgesamte lokale Geschwindigkeit, wobei

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }$

der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist, und

${\displaystyle \varsigma ={\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\tau }}={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}$

die gravitative Komponente der Zeitdilatation. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens lautet damit

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}}$.

Einzelnachweise

1. ↑ Ezra (Ted) Newman und Tim Adamo: Kerr-Newman metric. Scholarpedia, 9(10):31791
2. ↑ Newman & Janis: Note on the Kerr Spinning-Particle Metric
3. ↑ ^{a b} Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation, S. 877, S. 908. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
4. ↑ ^{a b} Sarani Chakraborty: Light deflection due to a charged, rotating body, Seite 4
5. ↑ Alan Myers: Natural System of Units in General Relativity, S. 4
6. ↑ Thibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics, S. 11 ff.
7. ↑ Bhat, Dhurandhar & Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process, S. 94 ff.
8. ↑ Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes, S. 2, S. 10, S. 11.
9. ↑ William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole
10. ↑ Roy Kerr (Crafoord Prize Symposium in Astronomy): Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47)
11. ↑ Brandon Carter: Global structure of the Kerr family of gravitational fields (1968)
12. ↑ Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues
13. ↑ ^{a b} Hakan Cebeci et al: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions
14. ↑ Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr-Newmann space-times, S. 4