Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegelparallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als Ergänzungskegel des Kegelstumpfs bezeichnet.
Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche, die kleinere die Deckfläche. Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für die Flächeninhalte dieser Flächen üblich. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.
Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfs wird die Höhe des Ergänzungskegels mit bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radius und Höhe ) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radius und Höhe ). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass
Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines Integrals berechnet werden, da ein solcher Körper als ein um die x-Achse rotierter Rotationskörper betrachtet werden kann. Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskörper lautet: . Setzt man hier für ein und errechnet das Integral in den Grenzen von und , so erhält man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern. Dass diese Formel der obigen Formel gleicht, ergibt sich durch folgende Rechnung:
Mantelfläche
Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt
,
also
.
Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche des großen Kegels (Radius und Mantellinie ) und der Mantelfläche des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius und Mantellinie ):
Die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:
Anwendungsbeispiele
Trinkglas
Einige Trinkgläser, zum Beispiel ein Martiniglas, haben annähernd die Form eines Kegels.
Ein Martiniglas mit dem Durchmesser 103 Millimeter und der Füllhöhe 59 Millimeter wird bis zu einer Höhe von 40 Millimetern mit Orangensaft gefüllt. Daraus ergibt sich , , und daraus das Volumen des nicht gefüllten Teils, der die Form eines Kegelstumpfs hat:
Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S.95ff.
Tronco cono 3D.stl Autor/Urheber: P. Gómez,
Lizenz:CC BY-SA 4.0 El tronco de cono puede puede obtenerse al cortar un cono. También, como sólido de revolución.
Kegelstumpfnetz.svg Autor/Urheber:Mabit1,
Lizenz:CC BY-SA 4.0 Körpernetz eines Kegelstumpfs: Der Umfang u1 der Deckfläche D ist gleich der Bogenlänge b1. Der Umfang u2 der Grundfläche G ist gleich der Bogenlänge b2. M ist die Mantelfläche.