Kan-Erweiterung

In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung ${\displaystyle ?\circ F=X}$ sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung

Seien ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ Kategorien, ${\displaystyle L,X,F}$ und ${\displaystyle M}$ Funktoren und ${\displaystyle \sigma }$ und ${\displaystyle \alpha }$ natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors ${\displaystyle X\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ entlang eines Funktors ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ist ein Paar ${\displaystyle (L\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}},\varepsilon \colon X\to L\circ F)}$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes ${\displaystyle M\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ und jedes ${\displaystyle \alpha \colon X\to M\circ F}$ gibt es genau ein ${\displaystyle \sigma \colon L\to M}$ mit ${\displaystyle \sigma _{F}\circ \varepsilon =\alpha }$, wobei ${\displaystyle \sigma _{F}(A)=\sigma \left(F(A)\right)}$.

Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Seien ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ Kategorien, ${\displaystyle R,X.F}$ und ${\displaystyle M}$ Funktoren und ${\displaystyle \delta }$ und ${\displaystyle \mu }$ natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors ${\displaystyle X\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ entlang eines Funktors ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ist ein Paar ${\displaystyle (R\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}},\eta \colon R\circ F\to X)}$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes ${\displaystyle M\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ und jedes ${\displaystyle \mu \colon M\circ F\to X}$ gibt es genau ein ${\displaystyle \delta \colon M\to R}$ mit ${\displaystyle \eta \circ \delta _{F}=\mu }$, wobei ${\displaystyle \delta _{F}(A)=\delta \left(F(A)\right)}$.

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.