K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Gegeben sei eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ und ein echter Kegel ${\displaystyle K}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung ${\displaystyle \preccurlyeq _{K}}$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung ${\displaystyle \prec _{K}}$. Dann heißt die Funktion

• K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D}$ mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}$ gilt, dass ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$ ist.
• K-monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D}$ mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}$ gilt, dass ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$ ist.
• strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D,\,x\neq y}$ mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}$ gilt, dass ${\displaystyle f(x)<f(y)}$ ist.
• strikt K-monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D,\,x\neq y}$ mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}$ gilt, dass ${\displaystyle f(x)>f(y)}$ ist.
• strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
• K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele

• Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$.
• Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{-}=(-\infty ,0]}$. Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
• Sind die Funktionen ${\displaystyle f_{i}(x_{i})}$ monoton wachsend, so ist die Funktion

${\displaystyle f(x)=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{n}(x_{n})}$

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dies folgt direkt aus der Monotonie der ${\displaystyle f_{i}}$.

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\supset D\to R}$ differenzierbar und ${\displaystyle D}$ eine konvexe Menge sowie ${\displaystyle K^{D}}$ der duale Kegel des Kegels ${\displaystyle K}$. Dann gilt:

• ${\displaystyle h}$ ist K-monoton wachsend auf ${\displaystyle D}$ genau dann, wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\succcurlyeq _{K^{D}}0}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$.
• ${\displaystyle h}$ ist K-monoton fallend auf ${\displaystyle D}$ genau dann, wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\preccurlyeq _{K^{D}}0}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$.
• Wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\succ _{K^{D}}0}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$ gilt, dann ist ${\displaystyle h}$ strikt K-monoton wachsend auf ${\displaystyle D}$.
• Wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\prec _{K^{D}}0}$ für alle ${\displaystyle x\in D}$ gilt, dann ist ${\displaystyle h}$ strikt K-monoton fallend auf ${\displaystyle D}$.

Matrix-monotone Funktionen

Wählt man als Vektorraum anstelle des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ den ${\displaystyle S^{n}}$ (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen ${\displaystyle h\colon S^{n}\to \mathbb {R} }$ Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen ${\displaystyle S_{+}^{n}}$, was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante ${\displaystyle \det \colon S^{n}\to \mathbb {R} }$ strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel ${\displaystyle S_{++}^{n}}$ der positiv definiten Matrizen.

Verwendung

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Literatur

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).