Körperkompositum

In der Mathematik ist das Kompositum zweier Körper ihr kleinster gemeinsamer Oberkörper.

Für die in diesem Artikel verwendeten Begriffe (wie „Körperadjunktion“, „Zwischenkörper“ und „Erweiterungsgrad“), siehe Körpererweiterung.

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Unterkörper des Körpers ${\displaystyle K}$, dann definiert man das Körperkompositum ${\displaystyle AB}$ als

${\displaystyle AB:=A(B).}$

Dabei bezeichnet A(B) die Körperadjunktion der Menge ${\displaystyle B}$ an den Körper ${\displaystyle A}$, sie besteht aus allen Brüchen von ${\displaystyle A}$-Linearkombinationen von Elementen aus ${\displaystyle B}$. Die Adjunktion ist in diesem Fall symmetrisch, d. h. ${\displaystyle A(B)=B(A)}$.

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Zwischenkörper einer Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$, und sind beide endliche Erweiterungen von ${\displaystyle K}$, dann ist der Erweiterungsgrad des Kompositums höchstens gleich dem Produkt der beiden einzelnen Erweiterungsgrade und mindestens so groß wie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV):

${\displaystyle \operatorname {kgV} (\left[A:K\right],\left[B:K\right])\leq \left[AB:K\right]\leq \left[A:K\right]\cdot \left[B:K\right].}$

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ linear disjunkt, dann ist ${\displaystyle \left[AB:K\right]=\left[A:K\right]\cdot \left[B:K\right].}$ Dies ist z. B. der Fall, wenn die Erweiterungsgrade von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ teilerfremd sind.

Man kann auch das Kompositum beliebig vieler Teilkörper eines gemeinsamen Oberkörpers betrachten, so ist z. B. der Körper der algebraischen Zahlen ein Oberkörper jeder endlichen Erweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, und ist gleich dem Kompositum aller endlicher Erweiterungen.