Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (X,\omega )}$ ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur ${\displaystyle J}$, welche mit der symplektischen Form ${\displaystyle \omega }$ kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$

auf dem Tangentialraum von ${\displaystyle X}$ an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ mit einer hermitischen Metrik ${\displaystyle h}$, dessen zugehörige 2-Form ${\displaystyle \omega }$ geschlossen ist. Genauer gesagt, gibt ${\displaystyle h}$ eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum ${\displaystyle TX}$ an jedem Punkt von ${\displaystyle X}$ und die 2-Form ${\displaystyle \omega }$ ist definiert durch

${\displaystyle \omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)}$

für Tangentialvektoren ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$. Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ angesehen werden definiert durch

${\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).}$

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ mit ${\displaystyle J^{2}=-Id}$ und ${\displaystyle g\colon {\mathcal {V}}(M)\times {\mathcal {V}}(M)\to C^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$ eine riemannsche Metrik, wobei ${\displaystyle {\mathcal {V}}(M)}$ den Raum der glatten Vektorfelder auf ${\displaystyle M}$ bezeichnet. Das Tripel ${\displaystyle (M,J,g)}$ heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

• ${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y)}$

für alle Vektorfelder ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {V}}(M)}$ gilt und

• ${\displaystyle \omega (X,Y):=g(JX,Y)}$ eine symplektische Form

ist. Die 2-Form ${\displaystyle \omega }$ heißt dann die Kähler-Form von ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle g}$ die Kähler-Metrik.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle N}$, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten ${\displaystyle r}$-Formen als ${\displaystyle \Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d}$ definiert, wobei ${\displaystyle d}$ die äußere Ableitung und ${\displaystyle d^{*}:=-(-1)^{Nr}\star d\star }$ ist und ${\displaystyle \star }$ den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ werden ${\displaystyle d}$ und ${\displaystyle d^{*}}$ zerlegt als

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\quad d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}:={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\quad \Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

Wenn ${\displaystyle X}$ Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ die Gleichheit

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$

gilt, wobei ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$ der Raum harmonischer ${\displaystyle r}$-Formen auf ${\displaystyle X}$ (Formen ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle \Delta \alpha =0}$) und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$ der Raum harmonischer ${\displaystyle (p,q)}$-Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform ${\displaystyle \alpha }$ harmonisch ist, wenn alle ihre ${\displaystyle (p,q)}$-Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$, gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie ${\displaystyle H^{r}(X,\mathbb {C} )}$ von ${\displaystyle X}$ mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p})}$.

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von ${\displaystyle X}$ als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von ${\displaystyle X}$ als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

1. Der komplexe Raum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
2. Ein kompakt komplexer Torus ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$.
3. Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
4. Der komplexe projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ und projektive Varietäten ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$.
5. Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
6. Hermetisch symmetrische Räume.
7. Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
8. Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

• Quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit
• Fastkomplexe Mannigfaltigkeit

• Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
• Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.

• A.L. Onishchik: Kähler manifold. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).