Jordan-Maß

Das Jordan-Maß ist ein mathematischer Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man gewissen beschränkten Teilmengen des einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

Definition

Eine Menge (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus angenähert.

Es bezeichne für

das halboffene -dimensionale Hyperrechteck und

die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Zur Definition können alternativ auch halboffene Intervalle der Form verwendet werden. Weiter sei

die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter den Inhalt, der für alle mit für alle durch

und definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

ihr äußerer Inhalt sei

Eine Menge heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn beschränkt ist und .

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge ist durch gegeben.

Gilt für ein beschränktes , so ist Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

Eigenschaften

  1. Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und auch -additiv (da das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge gleich seinem Lebesgue-Maß ist und letzteres -additiv ist). Aber abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendigerweise Jordan-messbar sein (siehe auch Beispiel 2). Daher ist die Menge der Jordan-messbaren Mengen keine σ-Algebra und das Jordan-Maß im Sinne der Maßtheorie nur ein Prämaß (kein Maß).
  2. Ist Jordan-messbar, so ist auch Lebesgue-messbar, und es gilt . Dabei bezeichnet das Lebesgue-Maß von .
  3. Eine Menge ist genau dann Jordan-messbar, wenn beschränkt ist und der Rand von eine Jordan-Nullmenge ist.
  4. Eine beschränkte Menge ist genau dann Jordan-messbar, wenn ist. Dann gilt auch .
  5. Eine kompakte Menge ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn eine Jordan-Nullmenge ist.

Beispiele

  1. Der Einheitskreis im ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
  2. Die Menge ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge gilt und für jede Menge gilt woraus folgt. Für jedes gilt . Aufgrund der -Additivität des Lebesgue-Maßes gilt . ist also Lebesgue-Nullmenge. lässt sich als abzählbare Vereinigung der rationalen Zahlen in darstellen, wobei jede der Mengen Jordan-messbar ist. Da nicht Jordan-messbar ist, folgt, dass die Jordan-messbaren Mengen keine σ-Algebra bilden. Damit zeigt das Beispiel, dass das Jordan-Maß (auf den Jordan-messbaren-Mengen) kein Maß ist.

Literatur

  • Wolfgang Walter: Analysis (= Grundwissen Mathematik 4). 2. Band. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-54566-2, S. 224–226.

Weblinks

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A set (represented in the picture by the region inside the blue curve) is Jordan measurable if and only if it can be well-approximated both from the inside and outside by simple sets (their boundaries are shown in dark green and dark pink respectively).