Veselý spielt seit seinem fünften Lebensjahr Tennis und kann auf eine sehr erfolgreiche Juniorenkarriere zurückblicken. Mit Oliver Golding gewann er 2010 bei den Olympischen Jugend-Sommerspielen in Singapur die Goldmedaille im Doppel, im Einzel erreichte er dort das Achtelfinale. 2011 gewann er im Einzel und im Doppel die Australian Open und stand zudem bei den US Open in beiden Wettbewerben im Finale. In Wimbledon erreichte Veselý 2011 ein weiteres Finale. Er führte auch für längere Zeit die Weltrangliste der Junioren an.
2009 begann er mit den ersten Turnieren auf der ITF Future Tour, auf denen er bisher neun Einzel- und fünf Doppeltitel gewann. Seinen ersten Titel auf der ATP Challenger Tour gewann er am 14. April 2013 mit einem Zweisatzsieg über den Deutschen Simon Greul in Mersin. Gut einen Monat später folgte bereits sein zweiter Challenger-Titel, als er im Finale der Prosperita Open in Ostrava Steve Darcis besiegte.
Für die tschechische Davis-Cup-Mannschaft bestritt Veselý im Februar 2013 gegen die Schweiz seine erste Partie. Er verlor das nicht mehr spielentscheidende Einzel gegen Henri Laaksonen mit 6:0, 3:6 und 1:6. Im Halbfinale gegen Argentinien verlor er ebenfalls die letzte Begegnung gegen Leonardo Mayer in zwei Sätzen. Für die Begegnung im Finale gegen Serbien, das die tschechische Auswahl mit 3:2 gewann, stand er nicht mehr im Kader.
Tennis pictogram.svg Pictograms of Olympic sports - Tennis. This is unofficial sample picture. Images of official Olympic pictograms for 1948 Summer Olympics and all Summer Olympics since 1964 can be found in corresponding Official Reports.
Flag of Chinese Taipei for Olympic games.svg Chinese Taipei Olympic Flag. According to the official website of Chinese Taipei Olympic Committee, Blue Sky(circle) & White Sun(triangles) above the Olympic rings is neither the National Emblem of the Republic of China, nor the Party Emblem of Kuomintang (KMT), but a design in between, where the triangles do not extend to the edge of the blue circle, as registered at International Olympic Committee in 1981 and digitally rendered in 2013. Besides, the blue outline of the five-petaled plum blossom is broader than the red one. Moreover, the CMYK code of the blue one and the Blue Sky & White Sun is "C100-M100-Y0-K0", and different from the Olympic rings (C100-M25-Y0-K0). Note that it's the only version recognized by IOC.