Jacobische Differentialgleichung

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt[1],

Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung

Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob verschwindet oder nicht.

Nichtverschwindende Determinante

Wegen gibt es (eindeutige) mit

Dann folgt

Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung

ist Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält

Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.

Verschwindende Determinante

Sei nun . Es sind drei Fälle zu unterscheiden.

  • Der Fall
Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von abhängt.
  • Der Fall
Für alle Lösungen der separierten Differentialgleichung
ist Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt
Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.
  • Der Fall
Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen der separierten Differentialgleichung
ist Lösung der jacobischen Differentialgleichung.

Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen

Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung . Für jede Lösung der separierten Differentialgleichung

ist Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen

Die Differentialgleichung für kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.

Literatur

  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2

Einzelnachweise

  1. Heidrun Günzel: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Oldenbourg-Verlag, 2008, ISBN 978-3486-58555-1, S. 55